Körper, Ringhomomorphismen,inj < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Sa 14.02.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei [mm] R(\not=\{\}) [/mm] ein kommutativer Ring mit 1. Zeigen Sie die Äquivalenz von
(i) R ist ein Körper
(ii) S sei ein Ring und [mm] \phi:R\to [/mm] S ein Ringhomomorphismus, so ist [mm] \phi [/mm] die Nullabbildung oder injektiv. |
Hallo,
(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)
[mm] ker(\phi) [/mm] ist ein Ideal in R. Da R ein Körper ist, hat er nur die trivialen Ideale:
[mm] ker(\phi)=R \vee ker(\phi)=\{0\}
[/mm]
Im ersten Fall folgt, dass [mm] \phi [/mm] die Nullabbildung ist im zweiten Fall folgt, dass [mm] \phi [/mm] injektiv ist
(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)
ZZ.: [mm] R^{\*}=R\setminus\{0\}
[/mm]
Sei r [mm] \in R\setminus\{0\}.
[/mm]
Krieg ich nicht gebacken. Habe auch mit Nullteiler, Idealen herumprobiert. Ich würde mich freuen über einen Tipp!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:38 So 15.02.2015 | | Autor: | statler |
> Es sei [mm]R(\not=\{\})[/mm] ein kommutativer Ring mit 1. Zeigen Sie
> die Äquivalenz von
> (i) R ist ein Körper
> (ii) S sei ein Ring und [mm]\phi:R\to[/mm] S ein
> Ringhomomorphismus, so ist [mm]\phi[/mm] die Nullabbildung oder
> injektiv.
Hallo!
> (ii) [mm]\Rightarrow[/mm] (i)
> ZZ.: [mm]R^{\*}=R\setminus\{0\}[/mm]
> Sei r [mm]\in R\setminus\{0\}.[/mm]
> Krieg ich nicht gebacken. Habe
> auch mit Nullteiler, Idealen herumprobiert. Ich würde mich
> freuen über einen Tipp!
Wenn du mal S := R/rR nimmst und dann die Abb. R [mm] \to [/mm] S untersuchst...
Gruß aus HH
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 So 15.02.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank für den guten Tipp:
Sei r [mm] \in R\stminus\{0\}
[/mm]
[mm] (r)=rR=\{r\alpha|\alpha \in R\} [/mm] Ideal von R
[mm] \phi: [/mm] R [mm] \to [/mm] R/(r)
[mm] \phi(a)=a+(r) [/mm] die Projektion
Nach Vorlesung ist die Projektion ein Epimorphismus
[mm] ker(\phi)=(r) [/mm] da [mm] r\not=0 [/mm] folgt (r)=R
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] r [mm] \in R\setminus\{0\} [/mm] ist (r)=R
Da [mm] 1_R \in [/mm] R [mm] \exists \alpha \in [/mm] R : [mm] r\alpha=1_r \forall [/mm] r [mm] \in [/mm] R [mm] \setminus\{0\}
[/mm]
D.h. jedes Element in R außer 0 hat ein Rechtsinverses.
Wegen der Kommutativität auch ein Linksinverses.
Ich hab da aber noch eine Frage:
Die Ringhomomorphismen [mm] \phi:\IZ \to \IZ [/mm] sind doch auch nur entweder die Nullabbildung oder die Identität(die injektiv ist) Wieso folgt, dass nicht mit dem obigen Satz, dass [mm] \IZ [/mm] ein Körper ist? Es ist doch alles für den Satz erfüllt?
LG,
sissi
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Hallo,
beachte, dass für $ S $ beliebige Ringe zugelassen sind, möglicherweise von $ R $ verschieden. Nicht jeder Ringhomomorphismus [mm] $\IZ\longrightarrow\IZ/n [/mm] $ ist injektiv. (Genau genommen gar keiner.) Und die Reduktion modulo $ n $ ist außerdem nicht Null, falls $ [mm] n\not=\pm1$.
[/mm]
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:06 Mi 18.02.2015 | | Autor: | sissile |
Danke!!
LG,
sissi
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