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| Aufgabe | Sei K ein Körper und V := [mm] K^{2x2}, v_{0} \in K^{2}. [/mm] Für
(a) U = [mm] \{ \pmat{ a & a \\ a & a } | a \in K \}
[/mm]
(b) U = [mm] \{A | A \in V, A_{1} = A_{2}\}
[/mm]
(c) U = [mm] \{A | A \in V, v_{0}f_{A} \in _{K} \}
[/mm]
zeige man,
(1) dass U ein K-teilraum von V ist
(2) bestimmte seine Dimension
(3) gebe eine K-Basis des Faktorraums V/U an
(4) Ist U eine K-Teilalgebra von V?
(5) Enthält U invertierbare Matrizen? |
Hallo. Ich habe mich mit dieser Aufgabe ausgibig beschäftigt, aber ich komme irgendwie nicht weiter.
(1a)
Ich habe gezeigt, dass es sich um einen Teilraum handelt, in dem ich gezeigt habe, dass U [mm] \not= \emptyset, [/mm] das es abgeschlossen der Multiplikation und abgeschlossen der skalaren Multiplikation ist.
(2a)
Die Zeilenvektoren sind doch (a,a) und es muss doch eine Basistupel existieren, die (a,a) aufspannt: (a,a)= x(v,w)+y(z,u), d.h. es sind 2 Basisvektoren. Also ist die Dimension 2.
(4a)
Ich habe auch gezeigt, dass es sich bei U um eine Teilalgebra handelt, in dem ich auch noch die Abgeschlossenheit der Multiplikation gezeigt habe.
Der Rest ist mir aber total unklar. Ich verstehe zum Beispiel nicht einmal, wie genau (b) und (c) definiert sind und was mit einem Faktorraum gemeint. Ist.
Kann mir bitte jemand helfen?
Das ist ganz wichtig. Dankeschön!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 So 05.02.2006 | | Autor: | t.sbial |
Also zu 1a) und 4a) das stimmt so.
zu 2a) da versteh ich ehrlich gesagt nicht was du damit meinst, aber ich würde sagen U=< [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }> [/mm] und darum eindimensional.
zu 5a) man sucht [mm] \pmat{ a & a \\ a & a }* \pmat{ b & b \\ b & b }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] dass heißt also:
[mm] \pmat{ 2ab & 2ab \\ 2ab & ab }= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] dass führt zu ab=0 und ab=1 d.h. es gibt keine.
Nun zum Faktorraum. Das kann ich dir jetzt natürlich nicht alles erlären,da müsst ihr ja auch was dazu gemacht haben. Und es gibt dann so nen Satz, dass der Faktorraum isomorph zu einem Komplement von U ist. Man findet also eine Basis von [mm] V\U [/mm] indem man eine Basis von U zu einer von V ergänzt... Ich hoffe du weist was gemeint ist. Nun zu (b) da bin ich mir auch nicht sicher was gemeint ist, vielleicht ist U={A} und bei (c) glaube ich sind die Matrizen gemeint für die gilt A*v=c*v für ein c aus K. Also diejenigen Matrizen die v als Eigenvektor haben. Ich hoffe dass hilft dir ein bisschen;)
Gruß
T.Sbial
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Vielen Dank schon mal. Das klingt schon mal alles nicht schlecht. Damit werde ich wohl weiter kommen.
Aber ich aktiviere noch mal meine Frage zu (b) und (c). Weil das ist mir immer noch nicht klar.
Bitte helft mir.
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Hallo und guten Morgen,
zu (2): Sind mit [mm] A_1, A_2 [/mm] die Spalten von A gemeint ? Dann waere ja
[mm] U=\{ \pmat{a & b\\ a & b}\: |\: a,b\in K\}
[/mm]
und somit [mm] dim_K(U)=2, dim_K(V)=4, [/mm] also [mm] dim_K(V\slash [/mm] U)=4-2 und eine Basis
ist zB gegeben durch die beiden Aequivalenzklassen modulo U der Matrizen
[mm] \pmat{1 & 0\\ 0 & 1},\:\: \pmat{0 & 1\\ 1& 0}.
[/mm]
Dieses U ist abgeschlossen unter Matrix-Multiplikation (leicht pruefen:
wenn
[mm] \pmat{a & b\\ a& b}\in U,\:\: \pmat{c & c\\ d& d}\in [/mm] U
so ist das Produkt beider gleich
[mm] \pmat{ac+ad & ac+ad\\ bc+bd & bc + bd}
[/mm]
somit ist U K-Teilalgebra von V. Die Determinante aller Matrizen in U ist 0, also enthaelt es keine invertierbaren Matrizen.
Die Notation fuer (3) ist mir nicht ganz klar, was ist mit [mm] f_A [/mm] gemeint ???
Wenn wirklich gemeint sein sollte, dass [mm] v_0 [/mm] Eigenvektor von A ist, so
kannst Du doch jetzt mal selber versuchen, zu zeigen, dass wenn
[mm] v_0 [/mm] Eigenvektor von [mm] B\in [/mm] U und [mm] C\in [/mm] U ist, dann auch [mm] v_0 [/mm] Eigenvektor von
[mm] \lambda\cdot B+\mu\cdot [/mm] C ist (fuer [mm] \lambda, \mu [/mm] in K bel.). Das waere naemlich fuer (1) zu zeigen.
Viele Gruesse,
Mathias
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