Körper 2 < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | a aus K - {0} und b, c aus R mit ab = ac dann gilt b=c |
Hallo,
K - {0}, bedeutet das nicht einfach, dass a das Einselement in dem Körper ist?
LG
|
|
| |
|
Hallo xxela89xx,
> a aus K - {0} und b, c aus R mit ab = ac dann gilt b=c
> Hallo,
>
> K - {0}, bedeutet das nicht einfach, dass a das Einselement
> in dem Körper ist?
Nein, zu einem Körper gehören 2 Verknüpfungen, sagen wir + und [mm]\cdot[/mm]
[mm]a\in\IK\setminus\{0\}[/mm] bedeutet, dass [mm]a[/mm] ein beliebiges Element aus [mm]\IK[/mm] ist, aber nicht das neutrale Element bzgl. der "ersten (additiven)" Verknüpfung +
M.a.W.: [mm]\IK\setminus\{0\}[/mm] ist die Menge der bzgl. "[mm]\cdot{}[/mm]" invertierbaren Elemente
>
> LG
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Also existiert für alle a aus K ohne Null ein b aus K mit a*b= 1 oder? Das kann man ja noch so schreiben b = a^-1.
Also schreibe ich
ab = ac [mm] \gdw [/mm] a * b = a^-1 * c [mm] \gdw [/mm] b = c.
Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Do 01.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieso sollte ein allgemeines b das inverse zu a sein?
Du sollst für beliebige abc aus K ohne 0 die Beh. zeigen. du kannst doch y.B a=7 in [mm] \IQ [/mm] aus 7*b=7*c schliessen b=c wobei b [mm] \ne1/7 [/mm] ist.
aber [mm] a^{-1} [/mm] zu benutzen ist die richtige Idee.
mit was musst du denn 7*b=7*c mult. um auf b=c zu kommen? mach das allgemein! (oft helfen Beispiele beim Denken!
gruss leduart
|
|
|
| |
|
7b=7c muss ich dann mit dem Inversen multiplizieren, also mit 1/7. Wenn ich beide Seiten mit dem Inversen multipliziere, habe ich ja eig schon b=c stehen. Stimmt dann die Aussage nicht?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> 7b=7c muss ich dann mit dem Inversen
von 7 bzgl. der Multiplikation
> multiplizieren, also
> mit 1/7. Wenn ich beide Seiten mit dem Inversen
> multipliziere, habe ich ja eig schon b=c stehen.
Ja.
> Stimmt
> dann die Aussage nicht?
???
Du solltest doch zeigen, daß, sofern [mm] b,c\in [/mm] K und [mm] a\in K\setminus \{0\},
[/mm]
aus ab=ac folgt, daß b=c.
Die Tatsache, daß [mm] a\in K\setminus \{0\}, [/mm] garantiert Dir, daß es zu a ein Inverses bzgl. der Multiplikation, nennen wir es [mm] a^{-1}, [/mm] gibt.
Weil es das gibt, kannst Du damit beide Seiten multiplizieren und bekommst was?
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 7b=7c muss ich dann mit dem Inversen multiplizieren, also
> mit 1/7. Wenn ich beide Seiten mit dem Inversen
> multipliziere, habe ich ja eig schon b=c stehen. Stimmt
> dann die Aussage nicht?
gelte [mm] $ab=ac\,$ [/mm] mit den Bezeichnungen gemäß Deiner Aufgabe.
Dann gilt:
[mm] $$b=1*b=(a^{-1}*a)*b=a^{-1}*(a*b)=$$
[/mm]
Jetzt Du!
P.S.: Ich hoffe, Du siehst, dass wir im Wesentlichen das gleiche machen
wie bei Angela bzwl. Leduart!
P.P.S.
Beachte: Aus $a*b=a*c$ folgt [mm] $a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)$ [/mm] - i.a. sollte
man drauf achten, dass man nicht
[mm] $$(\*)\;\;\;a^{-1}*(a*b)=(a*c)*a^{-1}$$
[/mm]
schreibt ('Immer an die gleiche, passende Stelle (das gleiche)
"ranmultiplizieren"!' Hier: auf beiden Seiten wird [mm] $a^{-1}$ [/mm] "von links"
ranmultipliziert!)... das ganze wie in [mm] $(\*)$ [/mm] dürfte man hier zwar auch
machen - aber warum geht das hier denn eigentlich?
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Das ist ja bei der Multiplikation egal, wegen dem Assoziativgesetz.
Du hast ja dann in der rechten Klammer a^-1 (a*b) stehen. Also hast du die Voraussetzung aus der Aufgabe benutzt, dass b=c ist oder?
Dann kann man jetzt rechts die Klammern anders setzen :
( a^-1 * a) * b = (a^-1 * a) * b oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Das ist ja bei der Multiplikation egal, wegen dem
> Assoziativgesetz.
nein, die Gleichheit
[mm] $$a^{-1}*(a*b)=(a*c)*a^{-1}$$
[/mm]
dürfte man aus [mm] $a*b=a*c\,$ [/mm] wegen der KOMMUTATIVITÄT der Multiplikation
folgern!
> Du hast ja dann in der rechten Klammer a^-1 (a*b) stehen.
> Also hast du die Voraussetzung aus der Aufgabe benutzt,
> dass b=c ist oder?
Nein - denn das wollen wir zeigen - das setze ich bestimmt nicht voraus!
> Dann kann man jetzt rechts die Klammern anders setzen :
>
> ( a^-1 * a) * b = (a^-1 * a) * b oder?
Da steht sowas wie [mm] $x=x\,$ [/mm] - ziemlich langweilig, oder?
Also nochmal: Es gilt doch
(I) [mm] $b=1*b\,.$ [/mm]
Dabei ist [mm] $1\,$ [/mm] das (eindeutig bestimmte) neutrale Element der Mult. im
Körper.
Nun ist $a [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}\,,$ [/mm] also gibt es ein eindeutig bestimmtes
multiplikativ inverses, [mm] $a^{-1} \in [/mm] K [mm] \setminus \{0\}\,.$ [/mm]
Es gilt also
(II) [mm] $1=a^{-1}*a\,.$
[/mm]
Setzt man (II) in (I) ein, so folgt
(III) [mm] $b=1*b=(a^{-1}*a)*b\,.$
[/mm]
Nun gilt aber auch das Assoziativgesetzt der Mult., so dass folgt:
[mm] $$b=1*b=(a^{-1}*a)*b=a^{-1}*(a*b)$$
[/mm]
Und jetzt kannst Du [mm] $a*b=b*c\,,$ [/mm] was NACH VORAUSSETZUNG gilt,
benutzen, und dann weiterrechnen (eigentlich "analog, nur spiegelverkehrt"), um dann
[mm] $$b=1*b=(a^{-1}*a)*b=a^{-1}*(a*b)=\ldots=c$$
[/mm]
zu sehen.
Also: Nach dem Gleichheitszeichen vor den [mm] $\ldots$ [/mm] benutzt Du
[mm] $a*b=a*c\,,$ [/mm] danach wendest Du wieder das Assoziativgesetz an und
dann solltest Du so langsam das Ende auch schon sehen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Also:
b = 1* b = (a^-1 *a) *b= a^-1 *(a*b) = (a*c) * a^-1 = c* ( a ^-1 * a) = c*1 = c
in der Mitte haben wir dann den Ausdruck a^-1 *(a*b) = (a*c) * a^-1 stehen, kann ich das denn so aufschreiben?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Do 01.11.2012 | | Autor: | teo |
> Also:
>
> b = 1* b = (a^-1 *a) *b= a^-1 *(a*b) = (a*c) * a^-1 = c* (
> a ^-1 * a) = c*1 = c
>
> in der Mitte haben wir dann den Ausdruck a^-1 *(a*b) =
> (a*c) * a^-1 stehen, kann ich das denn so aufschreiben?
Ne, wieso steht jetzt auf einmal das [mm] a^{-1} [/mm] auf der rechten Seite? Das sollte schon links bleiben...
|
|
|
| |
|
Sollte ich das Ganze nicht mit der rechten Seite machen? Irgendwie bin ich grad total verwirrt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Do 01.11.2012 | | Autor: | teo |
Du hast doch folgendes stehn gehabt:
$... [mm] =a^{-1}(a*b) [/mm] = [mm] (a*c)a^{-1} [/mm] =.. $ Du benutzt hier die Voraussetzung ab = ac. Aber warum steht das [mm] a^{-1} [/mm] plötzlich auf der rechten Seite? Du setzt doch nur für (a*b), (a*c) ein.. das [mm] a^{-1} [/mm] bleibt doch wos ist!
Grüße
|
|
|
| |
|
a*(a^-1 *(a*b)) = a*c
(a*a^-1) * a * b = a* c ??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Do 01.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo xxela89xx,
> a*(a^-1 *(a*b)) = a*c
> (a*a^-1) * a * b = a* c ??
Was tust du da? Die Gleichungen sind relativ unbegründet, aber richtig.
Ich kann keinen Nutzen für die Aufgabe darin erkennen.
Wir wissen: $a*b=a*c$.
Wir wollen zeigen: $b=c$.
Angefangen haben wir dazu mit
[mm] $b=1*b=(a^{-1}*a)*b=a^{-1}*(a*b)=\ldots$.
[/mm]
Jetzt bietet es sich doch an, einfach unsere Voraussetzung $a*b=a*c$ ins Spiel zu bringen. Wir erhalten so:
[mm] $b=1*b=(a^{-1}*a)*b=a^{-1}*(a*b)=a^{-1}*(a*c)=\ldots$.
[/mm]
Nun rechne weiter, bis am Ende der Gleichungskette $=c$ steht.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo xxela89xx,
ich hab' doch nicht gesagt, dass das [mm] $a^{-1}$ [/mm] "nach rechts gehen soll",
sondern nur, dass man das auch machen dürfte - wegen der Kommutativ.
der Multiplikation.
Es ist sinnvoller, das nicht zu tun und genau so weiterzumachen, wie ich
es vorgeschlagen hatte - ich hatte doch gesagt "eigentlich geht's
'symmetrisch' weiter".
Was genau Dich verwirrt hat, weiß ich nicht. Aber nochmal, mit Ergänzung
eines weiteren Schrittes:
[mm] $$b=1\cdot{}b=(a^{-1}\cdot{}a)\cdot{}b=a^{-1}\cdot{}(a\cdot{}b)=a^{-1}\cdot{}(a\cdot{}c)\red{\;=\;(a^{-1}*a)*c\;}=\ldots$$
[/mm]
So langsam solltest Du's nun aber sehen, denn wir sind nun schon so
kurz vor der Ziellinie, dass nur sehr sehschwache Leute das nun nicht
erkennen können...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sollte ich das Ganze nicht mit der rechten Seite machen?
> Irgendwie bin ich grad total verwirrt
ne, ich hab' gesagt "Du könntest das auch" - aber Du "solltest" es
eigentlich nicht tun. Wenn Du es tust, bedarf es einer Begründung.
Die haben wir schonmal besprochen - denke drüber nach!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur mal nebenher: Falsch war das hier eigentlich nicht, nur umständlich
und "undurchsichtig":
> b = 1* b = (a^-1 *a) *b= a^-1 *(a*b) =
jetzt müßte man ergänzen
[mm] $$=a^{-1}*(a*c)$$
[/mm]
nach Voraussetzung, danach
[mm] $$=(a*c)*a^{-1}$$
[/mm]
wieder wegen der Kommutativität der Mult., danach
[mm] $$=(c*a)*a^{-1}$$
[/mm]
wieder wegen der Komm. der Mult., danach
[mm] $$=c*(a*a^{-1})$$
[/mm]
wegen der Ass. der Mult., danach
> = c* (a ^-1 * a)
wegen der Komm. der Multipl., und dann
> = c*1 = c
Du siehst: So geht es auch, aber es ist echt "umständlich"!
P.S. Man meint immer, dass das eine Selbstverständlichkeit sei, aber mach'
Dir mal klar, was das Assoziativitätsgesetz eigentlich heißt:
$$(a*b)*c=a*(b*c)$$
heißt, dass, wenn ich erst $a*b$ berechne, und dieses Ergebnis
[mm] $$e_1:=a*b$$
[/mm]
dann von links mit [mm] $c\,$ [/mm] multipliziere:
[mm] $$e_1*c=(a*b)*c$$
[/mm]
dass das das gleiche ist, wie, wenn ich erst [mm] $e_2:=b*c$ [/mm] berechne und
dieses Ergebnis von rechts mit [mm] $a\,$ [/mm] multipliziere (d.h. [mm] $a*(b*c)=a*e_2$):
[/mm]
Also:
[mm] $$e_1*c=(a*b)*c=a*(b*c)=a*e_2\,.$$
[/mm]
Liest Du bei der letzten Gleichung mal die Gleichheiten ganz links mit der
ganz rechts, so sieht man, "dass da wirklich eine nicht triviale Aussage
steht". Bei uns ist das alles so "verschwommen", weil wir halt aus der
Schule gewohnt sind, einfach so "rechnen zu dürfen".
Aber wenn man mal ein Zahlenbeispiel hernimmt:
[mm] $$(3*5)*7=15*7\,$$
[/mm]
und
[mm] $$3*(5*7)=3*35\,,$$
[/mm]
dann sieht man doch nicht direkt, dass [mm] $15*7=3*35\,$ [/mm] gilt. Also man sieht
es nicht, ohne, dass man "Zusatzüberlegungen" anstellt - das will ich damit
sagen!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:29 So 04.11.2012 | | Autor: | xxela89xx |
Hey,
danke für eure wirklich sehr ausführlichen Antworten. Ich habe mir alles noch einmal durchgelesen und gesehen, dass das Ganze wirklich sehr einfach war und ich es einfach nicht sehen wollte. Wenn man irgendwo nicht mehr weiterkommt sollte man sich wirklich mit etwas anderem beschäftigen und es später noch mal versuchen. Das habe ich gemacht und bemerkt wie einfach das Ganze ist und ich es in dem Augenblick nicht sehen konnte! Und alle Beispiele, die ihr mir vorgestellt habt, haben das Ganze ( obwohl es schon so einfach war) noch mehr vereinfacht.
Vielen lieben Dank!
|
|
|
|
