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| Aufgabe | Sei p [mm] \in \IQ [/mm] mit p > 0 und [mm] \wurzel{p} \not\in \IQ [/mm] gegeben.
a) Zeige, dass die Menge [mm] \IQ \wurzel{p} [/mm] := [mm] {x+y\wurzel{p}| x,y \in \IQ} \subset [/mm] R zusammen mit der von [mm] \IR [/mm] eingeschränkten Addition und Multiplikation ein Körper ist.
b) Für z= x+y [mm] \wurzel{p} \in \IQ (\wurzel{p}). [/mm] Sei [mm] \overline{z}:= [/mm] x - y [mm] \wurzel{p} \in \IQ (\wurzel{p}) [/mm] die konjugierte Zahl. Zeige, dass stets [mm] \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w} [/mm] sowie [mm] \overline{z*w}=\overline{z}*\overline{w} [/mm] gilt.
c) Zeige mit Hilfe von b , dass der Körper aus a auf zwei verschiedene Weisen angeordnet werden kann. |
Also ich weiss, dass ich in a die Körperaxiome nachweisen muss und die Wohldefinitheit der Addition und Multiplikation.
Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was ich in b und c machen soll.
Bitte um Hilfe.
LG
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> Sei p [mm]\in \IQ[/mm] mit p > 0 und [mm]\wurzel{p} \not\in \IQ[/mm]
> gegeben.
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> a) Zeige, dass die Menge [mm]\IQ \wurzel{p}[/mm] := [mm]{x+y\wurzel{p}| x,y \in \IQ} \subset[/mm]
> R zusammen mit der von [mm]\IR[/mm] eingeschränkten Addition und
> Multiplikation ein Körper ist.
>
> b) Für z= x+y [mm]\wurzel{p} \in \IQ (\wurzel{p}).[/mm] Sei
> [mm]\overline{z}:=[/mm] x - y [mm]\wurzel{p} \in \IQ (\wurzel{p})[/mm] die
> konjugierte Zahl. Zeige, dass stets
> [mm]\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}[/mm] sowie
> [mm]\overline{z*w}=\overline{z}*\overline{w}[/mm] gilt.
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> c) Zeige mit Hilfe von b , dass der Körper aus a auf zwei
> verschiedene Weisen angeordnet werden kann.
> Also ich weiss, dass ich in a die Körperaxiome nachweisen
> muss und die Wohldefinitheit der Addition und
> Multiplikation.
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> Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, was ich in b und c
> machen soll.
Hallo,
in b) sollst Du zwei Körperelemente [mm] z_1=x_1+y_1\wurzel{p} [/mm] und [mm] z_2=x_2+y_2\wurzel{p} [/mm] nehmen und zeigen, daß die Summe der Konjugierten gleich dem Konjugierten der Summe ist, analog fürs Produkt.
Um c) zu lösen, mußt Du sicher erstmal herausfinden, was eine Anordnung ist.
Dann sollst Du eine Relation sagen, mit welcher der hier vorliegende Körper ein angeordneter wird, und danach zeigen, daß es eine weitere Relation gibt, auf welche das zutrifft.
So jedenfalls verstehe ich die Aufgabe.
LG Angela
> Bitte um Hilfe.
>
> LG
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