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| Aufgabe | | (K,+,*) sei Körper. Falls x,y [mm] \in [/mm] K y [mm] \not= [/mm] 0 existieren mit -1 = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] , so existiert kein Positivbereich in K. |
Man soll mit Körper- u. Ordungsaxiomen arbeiten, nur weiss ich nicht wie ich vorgehen soll. Ein Hinweis wäre nett.
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> (K,+,*) sei Körper. Falls x,y [mm]\in[/mm] K y [mm]\not=[/mm] 0 existieren
> mit -1 = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] , so existiert kein Positivbereich in
> K.
> Man soll mit Körper- u. Ordungsaxiomen arbeiten, nur
> weiss ich nicht wie ich vorgehen soll. Ein Hinweis wäre
> nett.
Hallo,
ich weiß ja nicht genau, was wie bereits besprochen wurde.
Mal ganz grob: wenn es einen Positivbereich gibt, dann sind [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] drin, und mit ihnen ist auch ihre Summe im Positivbereich.
Also ist ist -1 im Positivbereich und auch [mm] (-1)^2=1. [/mm]
1 und -1 sind im Positivbereich, und das ist ein Widerspruch.
Welcher?
Guß v. Angela
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Also:
Annahme: es gibt einen Positivbereich P Vor.: [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2=-1
[/mm]
[mm] x^2,y^2 \in [/mm] P [mm] \Rightarrow x^2+y^2 \in [/mm] P [mm] \Rightarrow (x^2+y^2)^2=1 \in [/mm] P
[mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \in [/mm] P und 1 [mm] \in [/mm] P
und das ist ein Widerspruch zu x [mm] \in [/mm] P oder (-x) [mm] \in [/mm] P, also besitzt K keinen Positivberech
Richtig?
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> Also:
>
> Annahme: es gibt einen Positivbereich P
> Vor.:
Es gibt x,y mit
> [mm] x^2+[/mm] [mm]y^2=-1[/mm]
>
Es sind
> [mm]x^2,y^2 \in[/mm] P [mm]\Rightarrow x^2+y^2 \in[/mm] P [mm]\Rightarrow (x^2+y^2)^2=1 \in[/mm] P
> [mm]\Rightarrow[/mm] -1 [mm]\in[/mm] P und 1 [mm]\in[/mm] P
>
> und das ist ein Widerspruch zu x [mm]\in[/mm] P oder (-x) [mm]\in[/mm] P,
> also besitzt K keinen Positivberech
>
> Richtig?
Ja, das ist richtig - sofern bereits gezeigt wurde, daß Quadrate im Positivbereich sein müssen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:00 So 07.11.2010 | | Autor: | Big_Head78 |
Gut, danke!
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