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| Aufgabe | Sei [mm] m\in \IZ. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] R:=\IQ [/mm] x [mm] \IQ [/mm] bzgl.
(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), (a,b)*(c,d)=(ac+mbd, ad+bc)
ein kommutativer Ring mit Eins ist. Zeigen Sie weiterhin, dass R ein Körper ist, wenn m in [mm] \IZ [/mm] kein Quadrat ist. |
Hallo,
ich habe schon gezeigt, dass R ein Ring mit 1 ist. Nun fehlt mir noch, dass R ein Körper ist, wenn m in [mm] \IZ [/mm] kein Quadrat ist.
Also eigentlich brauche ich ja "nur" das Inverse bzgl "*" zu berechnen.
Ich habe das so versucht:
(a,b)*(a',b')=(1,0) (da (1,0) neutrales Element bzgl"*")
[mm] \gdw [/mm] (aa'+mbb', ab'+ba')=(1,0)
Daraus erhalten wir die beiden Gleichungssysteme:
I) aa'+mbb'=1
II) ab'+ba'=0
Aus II) folgt [mm] a'=\bruch{-ab'}{b}
[/mm]
a' in I):
[mm] \Rightarrow b'=\bruch{b}{mb^2-a^2}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
Aber wie komme ich darauf, dass m in [mm] \IZ [/mm] kein Quadrat sein darf?
Achso, grad fällt mir auf, wenn ich den Nenner von b' betrachte:
[mm] mb^2-a^2=0 \gdw m=\bruch{a^2}{b^2}\Rightarrow\wurzel{m}=\bruch{a}{b}
[/mm]
D.h. der Nenner wird dann Null, wenn die Wurzel von m wieder in [mm] \IZ [/mm] liegt und somit müsste m ein Quadrat in [mm] \IZ [/mm] sein. Richtig?
Danke schonmal für Antworten und Gruß
vom congo
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Sa 22.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Richtig?
Ja.
SEcki
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