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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:13 Di 16.11.2004 | | Autor: | IKE |
Hallo,
ich habe ein kleines Problem mit folgender Aufgabe:
Sei K:= [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel{2}) [/mm] ein Körper. Man zeige das [mm] \wurzel{3} \not\in [/mm] K ist.
Also ich denke mir mal so rein logisch kann [mm] \wurzel{3} [/mm] ja gar nicht in dem angegebenen Körper sein, nur habe ich das Problem wie ich es am besten zeige. Kann mir da vielleicht jemand einen tipp geben oder sonstwie vielleicht behilflich sein??
mfg IKE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:30 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo IKE,
definitionsgemäß gilt ja:
[mm] $\IQ(\wurzel{2}):=\left\{a+b*\wurzel{2}:\;\, a,b \in \IQ \right\}$.
[/mm]
Angenommen, es wäre [mm] $\wurzel{3} \in \IQ(\wurzel{2})$. [/mm] Dann gäbe es [m]r,s \in \IQ[/m], so dass:
[mm] $\wurzel{3}=r+s*\wurzel{2}$.
[/mm]
(edit Marcel, 01.15 Uhr, Ergänzung: Beachte dabei, dass [mm] $\wurzel{3} \notin \IQ$ [/mm] (Beweis?) und deswegen muss dann auch [m]s \in \IQ\setminus\{0\}[/m] gelten. Du kannst o.B.d.A. annehmen, dass [m]r,s \in \IQ\setminus\{0\}[/m], denn:
Nach obiger Bemerkung muss $s [mm] \not=0$ [/mm] sein.
Annahme: $r=0$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\wurzel{3}=s*\wurzel{2}$ [/mm] mit einem $s [mm] \in \IQ\setminus\{0\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $(\star)$ [/mm] $3=2s²$
Wegen $s [mm] \in \IQ\setminus\{0\}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\exists$ [/mm] $p,q [mm] \in \IZ\setminus\{0\}$, [/mm] $p,q$ teilerfremd, so dass:
[mm] $s=\frac{p}{q}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{in \;(\star)\;eingesetzt}{\Longrightarrow}$
[/mm]
[mm] $(\star \star)$ $3q^2=2p^2$
[/mm]
Dann muss aber $q$ gerade (und [mm] $\not=0$) [/mm] sein (wäre $q$ ungerade, so wäre [mm] $q^2$ [/mm] ungerade (siehe Link zur Mathebank unten!) und damit auch [mm] $3q^2$ [/mm] ungerade, aber $2p²$ ist gerade), d.h. [m]\exists k \in \IZ\setminus\{0\}[/m] mit $q=2k$
[mm] $\stackrel{in \;(\star \star)\;einsetzen}{\Longrightarrow}$
[/mm]
$3*4k²=2p²$
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $2*\underbrace{(3k²)}_{\in \IZ\setminus\{0\}}=p²$.
[/mm]
Damit wäre dann auch $p$ gerade, also wären sowohl $p$ als auch $q$ gerade und hätten beide den gemeinsamen Teiler $2$, im Widerspruch zur Teilferfremdheit von $p$ und $q$. Also können wir o.B.d.A. annehmen, dass $r,s [mm] \in \IQ\setminus\{0\}$ [/mm] gilt!)
[mm] $\stackrel{\mbox{mittels quadrieren}}{\Longrightarrow}$ [/mm]
[mm] $3=r²+2rs*\wurzel{2}+s^2*2$
[/mm]
Löse die letzte Gleichung nach [mm] $\wurzel{2}$ [/mm] (beachte, dass du o.B.d.A. $r,s [mm] \in \IQ\setminus\{0\}$ [/mm] angenommen hast) auf, also:
[mm] $\wurzel{2}=irgendwas$.
[/mm]
Nun beachte, dass [mm] $\IQ$ [/mm] mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper ist (d.h.: $+_$ ist eine Abbildung:
[mm] $+\;:\;\IQ \times \IQ \to \IQ$ [/mm] und
$*_$ ist eine Abbildung:
[mm] $*\;:\;\IQ \times \IQ \to \IQ$)
[/mm]
und begründe, dass deswegen $irgendwas [mm] \in \IQ$ [/mm] gelten muss.
Leider gilt aber [mm] $\wurzel{2} \notin \IQ$ [/mm] (kennst du den Beweis? Falls nicht:  Quadratwurzel einer reellen Zahl), womit du einen Widerspruch erhältst.
Probierst du das mal?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 Mi 17.11.2004 | | Autor: | IKE |
vielen dank, das hat mir sehr weitergeholfen.
mfg ike
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