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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Es sei K ein beliebiger Körper und n > 0 fixiert. Weiter seien [mm]x_1,...,x_n \in K[/mm] paarweise verschieden.
(a) Zeigen sie, dass [mm]\phi:K[X]_{\mbox{ Grad}
(b) Beweisen Sie, dass für jedes [mm]1 \le i \le n[/mm] genau ein [mm]p_i \in K[X]_{\mbox{ Grad}
(c) Es seien [mm]V_i =(x_1^i,...,x_n^i)[/mm] für [mm]0 \le i < n[/mm] Zeigen oder widerlegen Sie, dass [mm](V_0,...,V_{n-1})[/mm] stets eine Basis von [mm] K^n [/mm] bildet.
(d) Bestimmen Sie [mm]^S\phi^B[/mm] in Abhängigkeit von [mm]x_1,...,x_n[/mm] wobei [mm]B=(1,X,...,X^{n-1})[/mm] und [mm]S=(E_1,...,E_n)[/mm].
(e) Bestimmen Sie [mm]^B(\phi^{-1})^S[/mm] im Fall [mm] K=\IQ , n=3 [/mm] und [mm](x_1,x_2,x_3)=(-1,0,1)[/mm]. |
Hallo und guten Morgen,
also bei der Aufgabe komme ich in manchen Teilen nicht weiter. Bei (a) muss ich wieder zeigen, dass ich einen Isomorphismus habe. Also wieder zeigen, dass es bijektiv und linaer ist. Linear bekomme ich hin, bei injektiv und surjektiv keinen Plan. Kann ich da wieder mit Kern und Bild von [mm]\phi[/mm] arbeiten?
(b) habe ich keine Ahnung und auch keinen Ansatz.
Bei (c) würde ich sagen, dass ich es beweisen muss, aber tja, ich weiß nicht wie. Muss ich da mit Basisergänzungssatz arbeiten?
(d) muss ich ja eigentlich nur eine Abbildungsmatrix berechnen, mein Problem ist aber wie ich das in Abhängigkeit von [mm]x_1,...,x_n[/mm] machen soll
(e) sollte wenn ich (d) habe kein Problem mehr darstellen, oder? Ist doch einfach nur berechnen.
Wäre wirklich lieb, wenn ihr mir auf die SPrünge helfen könntet.
Vielen lieben Dank
Elbi
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Guten Morgen!
Ich gebe mal einige Hinweise und Ansätze... in der Hoffnung, dass es Dir weiterhilft.
Zu a): Das ist der sogenannte "Einsetzungshomomorphismus". Zur Injektivität vielleicht soviel: stell Dir vor, Du hast Polynome $f$ und $g$ vom Grad kleiner $n$, die auf das gleiche abgebildet werden, d.h. es gilt [mm] $f(x_i) [/mm] = [mm] g(x_i)$ [/mm] für alle $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$. Wieviele Nullstellen hat dann $f - g$ (mindestens)? Und welchen Grad hat das Polynom? Was folgt?
Die Surjektivität macht man doch schon in der Schule! Gegeben $n$ Punkte und $n$ Werte, dann gibt es ein Polynom vom Grad kleiner als $n$, das die vorgegebenen Punkte auf die vorgegebenen Werte schickt, z.B. ist eine Parabel durch Angabe von 3 Wertepaaren bestimmt. Stichwort hier: Gleichungssystem für die Koeffizienten.
Zu b): Naja, das folgt im Prinzip direkt aus a), aber gefragt ist wohl ein konstruktiver Beweis. Wie konstruiert man das [mm] $p_i$? [/mm] Zunächst muss [mm] $p_i(x_j) [/mm] = 0$ für $i [mm] \not= [/mm] j$, also bietet sich doch der Ansatz
[mm] $p_i(x) [/mm] = [mm] \prod_{j=1 \atop j \not= i}^n [/mm] (x - [mm] x_j)$ [/mm] an. Welchen Wert hat das Polynom an der Stelle [mm] $x_i$? [/mm] Kann man das irgendwie normieren?
Soviel zur Konstruktion, die Eindeutigkeit geht wie in a).
Zu c): Das hängt doch wieder mit Polynomen zusammen! Eine Linearkombination von solchen Vektoren, die den Nullvektor gibt, sieht doch so aus:
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k V_k [/mm] = 0$
Oder Komponentenweise geschrieben nach Definition der [mm] $V_k$ [/mm] gilt für jedes $1 [mm] \leq [/mm] i [mm] \leq [/mm] n$:
[mm] $\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k x_i^k [/mm] = 0$
Betrachtet man also das Polynom $p(x) = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k x^k$, [/mm] dann hat es einen Grad echt kleiner als $n$. Und wieviele Nullstellen? 
Zu d): Bei darstellenden Matrizen gilt immer: die Bilder der Basisvektoren sind die Spalten der Matrix. Was für Vektoren des [mm] $K^n$ [/mm] ergeben sich denn, wenn man in die angegebenen Basispolynome die Punkte einsetzt, wie es der Isomorphismus vorschreibt? Man erhält so eine Matrix, deren Einträge aus den [mm] $x_i$ [/mm] gebildet werden...
Zu e): Hier soll ja der inverse Morphismus angegeben werden. Du kannst z.B. einfach mit d) die darstellende Matrix von [mm] $\phi$ [/mm] berechnen und diese invertieren. Sollte durch Einsetzen der [mm] $x_i$ [/mm] in die Matrix aus d) kein Problem sein.
Alles klar? Das ist wirklich nicht schwer, sind immer wieder die gleichen Argumente.  Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:59 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Elbi |
Oh, danke danke danke! Das hat mir wirklich weiter geholfen, aber zu (b) und (c) habe ich noch Fragen.
also bei (b): also wenn ich [mm]P_i(x_i)[/mm] nehme, dann ist das doch [mm]P_i(x_i)=1[/mm], oder? Und jetzt verstehe ich nicht wo ich noch normieren soll? Ist [mm]p_i(x) = \prod_{j=1 \atop j \not= i}^n (x - x_j)[/mm] nicht schon normiert? Könntest du mir das nochmal erklären?
bei (c) verstehe ich zum einen nicht den Schritt:
von [mm]\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k V_k = 0[/mm] nach [mm]\sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k x_i^k = 0[/mm]
also und dann, also es müssen doch dann weniger als n Nullstellen sein, aber warum sind dann damit auch alle [mm]\lambda[/mm] gerade Null? Das will man doch haben, um zu zeigen, dass man eine Basis hat, oder?
Würdest du mir das vielleicht nochmal erklären?
LG
Elbi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 31.08.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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