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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mi 26.10.2005 | | Autor: | nicole12 |
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Für einen Körper F und ein Element d [mm] \in [/mm] F betrachten wir die Menge K :={(x,y) :x,y [mm] \in [/mm] F} und die Abbildung +: KxK [mm] \to [/mm] K und *: KxK [mm] \to [/mm] K gegeben durch:
[mm] (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2}):= (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})
[/mm]
[mm] (x_{1},y_{1})*(x_{2},y_{2}):= (x_{1}*x_{2}+d*y_{1}+y_{2},x_{1}*y_{2}+x_{2},y_{1})
[/mm]
Das Nullelement von K ist [mm] 0=0_{K}:=(0,0) [/mm] und das Einselelement von K ist [mm] 1=1_{K}:=(1,0).
[/mm]
Zeigen sie, dass K genau dann ein Körper ist, wenn die Gleichung [mm] x^{2}=d [/mm] keine Lösung für x [mm] \in [/mm] F hat.
Zeigen sie dazu:
Gilt [mm] x^{2}=s, [/mm] so hat (x,1) [mm] \in [/mm] K kein Inverses bezüglich der Multiplikation.
Gibt es kein x ßin F mit [mm] x^{2}=d, [/mm] so gilt [mm] a^{2}-b^{2}\not=0 [/mm] für alle [mm] (a,b)\not=0_{K}.
[/mm]
Wär sehr froh, wenn mir jemand sagen könnte was damit überhaupt gemeint ist, und wenn mir jemand zeigen könnte, wie soetwas geht.Hinweis, die natürlichen Zahlen beginnen bei uns mit 0.
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[mm]F = \mathbb{Q} \, , \ d = 2[/mm]
[mm]a = (0,1) \, , \ b=(0,-1) \, , \ c=(1,1)[/mm]
[mm](ab)c = (2,1) \, , \ a(bc) = (1,-1)[/mm]
modulo Rechenfehler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mi 26.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Nicole
Bitte überprüf erstmal deine Formel für die Multiplikation! sie MUSS mindestens 2 Fehler enthalten:1. das Komma vor [mm] y_{1} [/mm] am Ende und zweitens [mm] d*y_{1}+y_{2} [/mm] muss das + falsch sein wahrscheinlich ist es *
Sonst ist das keine vernünftige Def. von Multiplikation.
Jetzt was du tun sollst.
Erstens mal zeigen, dass mit den gegebenen Regeln man alle Körperaxiome zeigen kann: Assotiativgesetz, Distributivgesetz, Existenz des Inversen für + und * Einselement ist ja schon gegeben, da musst du nur zeigen, dass (x1,y1)*(1,0)=(x1,x2)
Alle Gesetze zu zeigen ist einfach einsetzen und ausrechnen! Das Inverse zu (x,1) findet man, indem man (x,1) [mm] *(x_{2},y_{2})=(1,0) [/mm] setzt und zeigt, dass man dann [mm] x_{2} [/mm] und [mm] y_{2} [/mm] berechnen kann, wenn d keine Quadratzahl ist.
das mit der Differenz der Quadrate =0 geht wohl auch mit sturem Rechnen,
Also rechne los, ist ne Menge Schreibarbeit, aber nur viel, nicht schwierig!
Du kannst ja die eine oder andere Rechng zum überprüfen schicken.
Gruss leduart
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