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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Do 17.02.2005 | | Autor: | Laetitia |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
lese schon längere Zeit mit und muss sagen, super Forum, Respekt!
Nun habe ich selbst ein Problem und hoffe ihr könnt mir helfen.
Es geht um Partialbruchzerlegung und dort insbesondere um den Koeffizientenvergleich.
Aufgabe:
[mm] \bruch{x^2-x-2}{x^2(x+2)(x-1)^2}
[/mm]
Ich bin auf folgende Zerlegung gekommen:
[mm] \bruch{a}{x}+\bruch{b}{x^2}+\bruch{c}{x+2}+\bruch{d}{x-1}+\bruch{e}{(x-1)^2}
[/mm]
Daraus dann die Gleichung
[mm] x^2-x-2=ax(x+2)(x-1)^2+b(x+2)(x-1)^1+cx^2(x-1)^2+dx^2(x+2)(x-1)+ex^2(x+2)
[/mm]
und durch Einsetzen der Nullstellen
x=-2: 4=36x [mm] \rightarrow c=\bruch{1}{9}
[/mm]
x=0: -2=2b [mm] \rightarrow [/mm] b=-1
x=1: -2=3e [mm] \rightarrow e=-\bruch{2}{3}
[/mm]
Mir fehlen nun also noch a und d - und ich muss die wohl mit Koeffizientenvergleich berechnen. Aber wie? Also welche Koeffizienten muss ich nehmen (würde intuitiv [mm] x^4 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] nehmen, habe aber keine Ahnung warum) und wie sieht es dann auf der rechten Seite aus?
Achja, es muss für [mm]a=-2[/mm] und für [mm] d=\bruch{17}{9} [/mm] rauskommen.
Bin für jede Hilfe dankbar, vor allem, wie ich auf d komme ist mir ein Rätsel.
Laetita
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> Hallo zusammen,
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>...
> Es geht um Partialbruchzerlegung und dort insbesondere um
> den Koeffizientenvergleich.
>
> Aufgabe:
>
> [mm]\bruch{x^2-x-2}{x^2(x+2)(x-1)^2}
[/mm]
>
> Ich bin auf folgende Zerlegung gekommen:
>
>
> [mm]\bruch{a}{x}+\bruch{b}{x^2}+\bruch{c}{x+2}+\bruch{d}{x-1}+\bruch{e}{(x-1)^2}
[/mm]
>
> Daraus dann die Gleichung
>
> [mm]x^2-x-2=ax(x+2)(x-1)^2+b(x+2)(x-1)^1+cx^2(x-1)^2+dx^2(x+2)(x-1)+ex^2(x+2)
[/mm]
>
> und durch Einsetzen der Nullstellen
>
> x=-2: 4=36x [mm]\rightarrow c=\bruch{1}{9}
[/mm]
> x=0: -2=2b
> [mm]\rightarrow[/mm] b=-1
>
> x=1: -2=3e [mm]\rightarrow e=-\bruch{2}{3}
[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
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> Mir fehlen nun also noch a und d - und ich muss die wohl
> mit Koeffizientenvergleich berechnen. Aber wie? Also welche
> Koeffizienten muss ich nehmen (würde intuitiv [mm]x^4[/mm] und [mm]x^3[/mm]
> nehmen, habe aber keine Ahnung warum) und wie sieht es dann
> auf der rechten Seite aus?
Wenn du bisher keinen Fehler gemacht hast (und ich sehe keinen), dann muss der Vergleich der Koeffizienten aller Potenzen von x "hinhauen".
Nach Einsetzen der bisher berechneten Werte hast Du
[mm] $(a+d+\frac{1}{9})x^{4}+(d-\frac{17}{9})x^{3}+(-3a-2d-\frac{11}{9})x^{2}+(3+2a)x=x^{2}-x$
[/mm]
Der Koeffizient von [mm] $x^{3}$ [/mm] bietet sich deshalb an, weil er nur eine Unbekannte enthält: [mm] $d-\frac{17}{9}=0$ [/mm] (s.u.). Ebenso verhält es sich mit dem Koeffizienten von $x$: $3+2a=-1$. Wenn Du die so ermittelten Werte zu Probe einsetzt bekommst Du (hoffentlich) [mm] $x^{2}-x-2=x^{2}-x-2$.
[/mm]
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> Achja, es muss für [mm]a=-2[/mm] und für [mm]d=\bruch{17}{9}[/mm]
> rauskommen.
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> Bin für jede Hilfe dankbar, vor allem, wie ich auf d komme
> ist mir ein Rätsel.
> Laetita
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 17.02.2005 | | Autor: | Laetitia |
Spitze, ich dank dir für deine superschnelle Antwort 
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