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| Aufgabe | Ein Polynom vierten Grades besitzt bei x = 1 eine Nullstelle und weist bei x = 0 und x = 2 zwei gleich hohe Maxima auf. Außerdem geht die Kurve durch den Punkt (1; 4).
Wie lautet die Funktionsgleichung des Polynoms? |
Hallo,
ich komme nicht auf die erforderliche Anzahl an Gleichungen um die Aufgabe zu lösen.
Meine gegenwärtige Lösung:
Ansatz: f(x) = [mm] ax^{4} [/mm] + [mm] bx^{3} [/mm] + [mm] cx^{2} [/mm] + dx + e
A. f (-1) = 0
B. f (1) = 4
C. f' (0) = 0
D. f' (2) = 0
E. sonst haben die beiden Maxima gleiche y-Werte ( wie kann ich diese Info interpretieren? )
Damit komme ich auf die folgenden Gleichungen:
aus A. a - b - c - d + e = 0
aus B. a + b +c +d +e = 0
aus C. f' (x) = [mm] 4ax^{3} [/mm] + [mm] 3bx^{2} [/mm] + 2cx + d
f' (0) = 0 damit ergibt sich: d = 0
d = 0 wird in die Geilungen A und B eingesetzt.
aus D. f' (2) = 0 ergibt sich die Gleichung: 8a + 3b + c = 0
Damit habe ich nur drei Gleichungen aufgestellt, benötige aber noch eine um die Koeffizienten a,b,c, e zu lösen.
Vielen Dank für eure Hilfe
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richtig ist A. a - b + c -d +e = 0
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Hiho,
da du nicht nur einen Fehler gemacht hast, werde ich das mal nochmal ausführen 
> Ansatz: f(x) = [mm]ax^{4}[/mm] + [mm]bx^{3}[/mm] + [mm]cx^{2}[/mm] + dx + e
Stimmt.
> A. f (-1) = 0
> B. f (1) = 4
> C. f' (0) = 0
> D. f' (2) = 0
> E. sonst haben die beiden Maxima gleiche y-Werte ( wie
> kann ich diese Info interpretieren? )
>
> Damit komme ich auf die folgenden Gleichungen:
> aus A. a - b - c - d + e = 0
a - b + c - d + e = 0
> aus B. a + b +c +d +e = 0
a + b +c +d +e = 4
Weiterhin hattest du ja [mm]d=0[/mm] und [mm]8a + 3b + c= 0[/mm]
Bleibt noch der letzte Hinweis zu verbraten:
E: Beide Maxima haben die gleichen Werte, d.h.
[mm]f(0) = f(2)[/mm]
[mm] e = 16a + 8b +4c + e[/mm]
[mm] 4a + 2b +c = 0 [/mm]
Gruß,
Gono.
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Vielen herzlichen Dank, Gono für deine Hilfe. Die Lösung war mit deiner Korrektur und Idee perfekt.
Hier noch die Lösung für die Aufgabe:
f(x) = - [mm] \frac{1}{2}x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + [mm] \frac{9}{2}
[/mm]
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