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| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Minimalpoynom von [mm] $\alpha:= \wurzel{5+2*\wurzel{5}}$ [/mm] über [mm] $\IQ$. [/mm] |
Hallo zusammen,
die Aufgabe oben ist nur ein Bsp.
Die Methode die ich kenne, ist erst die ersten paar Potenzen von [mm] $\alpha$ [/mm] zu bestimmen, solange bis alle Potenzen von [mm] $\alpha^0,...,\alpha^m$ [/mm] lin. unabhängig sind, aber [mm] $\alpha^0,...,\alpha^{m+1}$ [/mm] lin. abhängig sind.
Dann kann ich ein das Minimalpolynom aufstellen, die Vorfaktoren ergeben sich dann durch:
[mm] $a_0+a_1*\alpha+....+a_{m+1}*\alpha^{m+1}=0$
[/mm]
Oder irre ich mich da?
Gibt es denn einen "eleganteren" Weg. Ich komm mir bei diesem Weg vor wie mit einer Brechstange.
lg Kai
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:11 Di 05.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie das Minimalpoynom von [mm]\alpha:= \wurzel{5+2*\wurzel{5}}[/mm]
> über [mm]\IQ[/mm].
>
> die Aufgabe oben ist nur ein Bsp.
>
> Die Methode die ich kenne, ist erst die ersten paar
> Potenzen von [mm]\alpha[/mm] zu bestimmen, solange bis alle Potenzen
> von [mm]\alpha^0,...,\alpha^m[/mm] lin. unabhängig sind, aber
> [mm]\alpha^0,...,\alpha^{m+1}[/mm] lin. abhängig sind.
Genau.
> Dann kann ich ein das Minimalpolynom aufstellen, die
> Vorfaktoren ergeben sich dann durch:
>
> [mm]a_0+a_1*\alpha+....+a_{m+1}*\alpha^{m+1}=0[/mm]
>
> Oder irre ich mich da?
Doch, das stimmt so.
> Gibt es denn einen "eleganteren" Weg. Ich komm mir bei
> diesem Weg vor wie mit einer Brechstange.
Im Allgemeinen geht es nicht eleganter. Oft jedoch schon, z.B. bei dem Ausdruck oben. Dieser liegt in dem Koerperturm [mm] $\IQ(\alpha, \wurzel{5}) \supseteq \IQ(\wurzel{5}) \supsetneqq \IQ$; [/mm] dieser Koerperturm hat Grad 2 oder 4 (je nachdem ob [mm] $\alpha \in \IQ(\sqrt{5})$ [/mm] ist oder nicht). Also muss das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] Grad 1, 2 oder 4 haben.
Es reicht also zu zeigen, dass [mm] $\alpha \not\in \IQ(\sqrt{5})$ [/mm] ist, damit das Minimalpolynom Grad 4 haben muss.
Hier kann man dann so vorgehen: [mm] $\alpha^2 [/mm] = 5 + 2 [mm] \sqrt{5}$. [/mm] Wenn das Minimalpolynom von $5 + 2 [mm] \sqrt{5}$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] durch [mm] $x^2 [/mm] + a x + b$ gegeben ist, dann ist das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] gegeben durch [mm] $x^4 [/mm] + a [mm] x^2 [/mm] + b$ (einfach $x$ durch [mm] $x^2$ [/mm] substituieren).
LG Felix
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