Knobelaufgabe: harmonische Rei < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $M := [mm] \{n\in\IN\mid n \ \text{besitzt keine 9 in der Dezimaldarstellung}\}$, [/mm] also $M = [mm] \IN \setminus\{9, 19,29 ...\}$ [/mm] .
Man entscheide mit Begründung, ob die Reihe [mm] $\summe_{i=1}^{n} \frac{1}{n}$ [/mm] konvergiert. |
Die Aufgabe klingt eigentlich ganz logisch, allerdings wurde uns gesagt, dass sie konvergiert. Bei mir divergiert sie aber...
Kann mir vll jemand helfen?
Vielen Dank!
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[mm]M = \IN \setminus\{9, 19,29 ...\}[/mm]
Die ausgenommene Menge solltest Du Dir mal genauer anschauen. Die "..." enthalten den Weg zur Lösung. Auf den ersten Blick scheint es ja, als würde ein Zehntel der Zahlen ausgenommen.
Wieviele Zahlen unter 100 enthalten eine 9 an beliebiger Stelle? Wieviele unter 1000, einer Million, einer Milliarde? Fällt Dir daran etwas auf?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 Di 02.12.2008 | | Autor: | Alita |
bis 10 enthalten [mm] \bruch{1}{10} [/mm] der Zahlen eine 9,
bis 100 [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] - [mm] \bruch{1}{100}
[/mm]
bis 1000 [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] + [mm] \bruch{1}{10} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1000} [/mm] - [mm] \bruch{1}{100}
[/mm]
...
weil jede der Ziffern in [mm] \bruch{1}{10} [/mm] der Fälle eine Neun enthält, abzüglich der Fälle, bei denen mehrere Neunen vorkommen (da diese ja schon gezählt wurden).
Es werden also immer mehr, aber leider hilft mir das beim Beweis der Konvergenz nicht so richtig...
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Na, dann hilft vielleicht eine Umformulierung Deiner Beobachtung "es werden immer weniger".
Von den [mm] 10^n [/mm] Zahlen von 0 bis [mm] 10^n-1 [/mm] enthalten genau [mm] \left(\bruch{9}{10}\right)^n [/mm] Zahlen keine 9 in der Dezimaldarstellung.
Vielleicht hilft Dir diese Feststellung ja, eine konvergente Majorante zu finden?
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