Kleinste nichtabelsche Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Di 04.09.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für eine kleinste nicht abelsche Gruppe an. |
Hallo Leute,
ich kann ja alle Gruppen der Ordnung 1-3 ausschließen, da aus einer primen Gruppenordnung zyklisch folgt und daraus abelsch. Mir ist bekannt, dass diese abelsch ist, aber mir ist nicht bewusst, warum, könnte ich die Verknüpfungstabelle nicht auch so bestimmen, dass sie nicht abelsch ist?
Achja und folgt aus der Tatsache, dass sie abelsch ist, dass jeder Gruppe der Ordnung 4 abelsch ist, da isomorph oder ist das quatsch? In unserem Skript steht nämlich, dass alle Gruppen der Ordnung 4 entweder zu [mm] \IZ/4\IZ [/mm] oder zu [mm] \IZ/2\IZx\IZ/2\IZ [/mm] isomorph sind, welche ja abelsch sind und damit wären demnach auch alle vierelementigengruppen abelsch oder?
Als Beispiel wollte ich die [mm] S_3 [/mm] angeben mit 6 Elementen, das müsste ansich stimmen, aber ich bin mir bei Gruppen der Ordnung 4 nicht sicher.
Danke schonmal!
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Hallo AntonK,
> Geben Sie ein Beispiel für eine kleinste nicht abelsche
> Gruppe an.
> Hallo Leute,
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> ich kann ja alle Gruppen der Ordnung 1-3 ausschließen, da
> aus einer primen Gruppenordnung zyklisch folgt und daraus
> abelsch. Mir ist bekannt, dass diese abelsch ist, aber mir
> ist nicht bewusst, warum, könnte ich die
> Verknüpfungstabelle nicht auch so bestimmen, dass sie
> nicht abelsch ist?
Nö, jede zyklische Gruppe ist abelsch.
Nimm an, dass $G=<g>$ und [mm] $a,b\in [/mm] G$
Dann [mm] $a=g^n, b=g^m$ [/mm] mit [mm] $n,m\in\IZ$
[/mm]
Dann ist $ab=...=ba$ - fülle mal die Lücke aus ...
>
> Achja und folgt aus der Tatsache, dass sie abelsch ist,
Wer "sie"?
> dass jeder Gruppe der Ordnung 4 abelsch ist, da isomorph
> oder ist das quatsch? In unserem Skript steht nämlich,
> dass alle Gruppen der Ordnung 4 entweder zu [mm]\IZ/4\IZ[/mm] oder
> zu [mm]\IZ/2\IZ\red{\times}\IZ/2\IZ[/mm] isomorph sind, welche ja abelsch sind
> und damit wären demnach auch alle vierelementigengruppen
> abelsch oder? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Als Beispiel wollte ich die [mm]S_3[/mm] angeben mit 6 Elementen,
> das müsste ansich stimmen, aber ich bin mir bei Gruppen
> der Ordnung 4 nicht sicher.
Doch, doch: alle Gruppen der Ordnung 4 sind abelsch
>
> Danke schonmal!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Di 04.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Die kleinsche Vierergruppe ist doch aber gar nicht zyklisch, wie kann ich denn beweisen, dass sie abelsch ist ohne die Isomorphie auszunutzen?
Den Beweis, dass zyklische Guppen abelsch sind habe ich schon geführt, dennoch danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:16 Di 04.09.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
den Beweis hast du selber schon geführt! Ich erinnere dich an die von dir gestellte Frage:
Beweisen Sie, dass jede Gruppe, in der jedes Element mindestens Ordnung 2 hat abelsch ist.
Also du kennst den allgemeinen. Schreibs einfach speziell!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:23 Di 04.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Du hast recht natürlich, bin momentan etwas durch den Wind, danke euch!
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