Kleinste Fehlerquadrate < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 So 31.10.2010 | | Autor: | FrageAcc |
Hallo, ich habe folgende Frage. Wenn man jetzt z.b. g (die Gravitationskonstante) bestimmen will, indem man einen stein fallen lässt und jede sekunde misst, welchen weg er inzwischen zurückgelegt hat, dann kann man ja mittels Differentation das g mit der geringsten Gesamtabweichung bestimmen (wenn man das verhältnis [mm] s(t)=0,5*g*t^2 [/mm] kennt).
Wieso macht man das, wenn man doch einfach für jede der, sagen wir zehn messungen, s und t in die gleichung einsetzen kann und dann den mittelwert von g bestimmen kann? bzw. inwieweit unterscheidet sich das ergebnis?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Bei deiner Methode geht man davon aus, daß man die Gleichung kennt, und daß die Messwerte ziemlich gut mit der Gleichung übereinstimmen.
Dann ist es nicht leicht, da noch den Fehler der einzelnen Messwerte einzubringen. Zu guter letzt hast du nur eine zu bestimmende Variable g. Wenn du sagen wir mal den Fall eines Steins mit Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] und -Strecke [mm] s_0 [/mm] , also [mm] s_0+v_0t+\frac{1}{2}gt^2 [/mm] betrachtest, ist deine Methode recht schnell am Ende. Oder wenn die Bewegung [mm] y(t)=A*e^{A*t} [/mm] wäre, hättest du arge Schwierigkeiten, das nach A aufzulösen.
Die Methode der kleinsten Fehlerquadrate ist universell, da sie nur einen Algorithmus beschreibt, wie man generell irgendeine Funktion mit den Messwerten zusammen bringt. Statt die FQ durch Ableiten zu minimieren, kann man das auch ganz gut numerisch machen, also ohne Umformen der Gleichung. [mm] y(t)=A*e^{A*t} [/mm] ist dann kein Problem mehr.
Das ganze ist eine stumpfsinnige Rechnung, und damit für nen PC wie geschaffen. Der braucht meist nur maximal 50 Schritte, bis er die perfekten Parameter bestimmt hat.
Dann kannst du jedes Fehlerquadrat noch durch den quadrierten y-Fehler des Messwertes teilen. AUf die Weise bekommst du eine Gewichtung, sodaß sehr präzise Messwerte mehr Einfluß auf das Ergebnis haben, als ungenaue. (Das nennt sich dann Chi-Quadrat, bzw [mm] \chi^2 [/mm] )
Und: Das funktionierst selbst dann, wenn deine Gleichung sehr viele Parameter hat, 10 Parameter sind meist kein Problem. (Gut, das setzt Perfektion im stumpfsinnigen Arbeiten voraus -> Computer)
Das Umformen und Mittelwert bestimmen ist aber anschaulicher und per Hand bei den paar Werten schneller und einfacher, weshalb man das in der Schule oft benutzt.
Wenn man dann einmal was kompliziertes mit [mm] \chi^2 [/mm] gemacht hat und sieht, wie einfach der PC einem das erledigt, wird man das aber immer wieder mit [mm] \chi^2 [/mm] machen.
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Danke für die ausführliche Antwort! D.h. in meinem Fall käme die Berechnung des Mittelwertes zum gleichen Ergebnis aber für komplexe Zusammenhänge, d.h. mit einer Vielzahl von unbekannten Variablen, ist dieses "Einsetzen" nicht mehr erfolgreich. (Wenn ich es richtig verstanden habe)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:24 Mi 03.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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