Kleiner Gauß und Summe über Qu < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:11 Do 26.03.2015 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe | Hallo,
hier mal ein Alternativbeweis zum kleinen Gauß, den ich so bisher noch nicht
gesehen habe, oder ich erinnere mich nicht mehr dran. Jedenfalls habe ich
ihn mir gerade beim Lesen der abelschen part. Summation zusammengereimt: |
Es ist leich einzusehen, dass
[mm] $\sum_{k=1}^n a_kb_k=A_nb_{n+1}+\sum_{k=1}^n A_k(b_k-b_{k+1})$
[/mm]
gilt, wobei [mm] $b_{n+1}$ [/mm] beliebig ist. Dies kennt man als abelsche partielle Summation.
Damit kann man den kleinen Gauß leicht beweisen: Setze [mm] $a_k=1$ [/mm] und [mm] $b_k=k$ [/mm] für $k=1,...,n+1$ (dass
man [mm] $a_{n+1}$ [/mm] nicht braucht, ist egal).
Dann gilt [mm] $A_k=k$ [/mm] und daher
[mm] $\sum_{k=1}^n a_kb_k=\sum_{k=1}^n k=A_nb_{n+1}+\sum_{k=1}^n A_k(b_k-b_{k+1})$
[/mm]
[mm] $=n*(n+1)+\sum_{k=1}^n [/mm] k*(-1)$
Also
[mm] $2\sum_{k=1}^n k=n*(n+1)\,.$
[/mm]
Zweite Anwendungsidee: Setze [mm] $a_k=b_k=k\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $A_m=\sum_{k=1}^m a_k=\frac{m}{2}(m+1)$.
[/mm]
Also
[mm] $\sum_{k=1}^n a_kb_k=\sum_{k=1}^n k^2=A_n b_{n+1}+\sum_{k=1}^n A_k(b_k-b_{k+1})$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^n k^2=\frac{n}{2}(n+1)*(n+1)-\sum_{k=1}^n \frac{k}{2}(k+1)$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$
[/mm]
[mm] $2*\sum_{k=1}^n k^2=n*(n+1)*(n+1)-\sum_{k=1}^n [/mm] k*(k+1)$
[mm] $\Longrightarrow$
[/mm]
[mm] $3*\sum_{k=1}^n k^2=n*(n+1)*(n+1)-\frac{n}{2}(n+1)$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}*(n*(n+1))*(2n+2-1)$
[/mm]
[mm] $\Longrightarrow$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=1}^n k^2=\frac{1}{6}*(n*(n+1))*(2n+1)$
[/mm]
Hat schon jemand diese Beweise auf diese Weise irgendwo gesehen?
Wäre ja naheliegend...
P.S. Wenn ich das richtig sehe, werden wir mit
[mm] $a_k:=k^{m-1}$ [/mm] und [mm] $b_k:=k$
[/mm]
für jedes $m [mm] \in \IN$ [/mm] so wohl Summen der Form
[mm] $\sum_{k=1}^n k^m$
[/mm]
in den Griff bekommen. Ich weiß, dass es dahingehend auch andere Wege
gibt, aber der mit der abelschen partiellen Summation gefällt mir gerade
sehr gut. 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Do 26.03.2015 | | Autor: | fred97 |
Hallo Marcel,
schau mal hier:
http://www.mathb.rwth-aachen.de/veranstaltungen/WS14/Praktikum1/worksheets/12_Reihen3_Stetigkeit1.pdf
1.1.8 und 1.1.11
Gruß FRED
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