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| Aufgabe | Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz.Bestimmen sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert.
Begründen sie ihre Antwort.Ist die Folge beschränkt?
[mm] f_0=0 ,f_1=1 ;f_{n+1}=f_n+f_{n-1} [/mm] |
Hallo,
ich habe heute versucht die Aufgabe zu lösen bin aber gescheitert.
Leider ist mir der Lösungsweg auch nicht ganz klar.
Die Aufgabe wurde mit vollständiger Induktion gelöst:
Für alle [mm] n\geq5 [/mm] soll gelten [mm] f_n\geqvn [/mm] und es gilt [mm] f_5=5 ,f_6=8 [/mm] ausserdem soll gelten [mm] f_n\geq [/mm] n-1 für alle [mm] n\geq [/mm] 6 (diesen letzten Teil verstehe ich nicht?
[mm] f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\geq [/mm] n+n-1 [mm] \geq [/mm] n
Damit hat er dann gezeigt ,dass die Folge nicht beschränkt ,also auch nicht konvergent ist.
Kann mir jemand ein paar Tipps geben ,warum er genau [mm] f_n\geq [/mm] n-1 für alle [mm] n\geq [/mm] 6 gewählt hat?
mfg
moffeltoff
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 15.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
diese Folge hat den Namen Fibonacci-Folge s. ![[]](/images/popup.gif) hier.
Die ersten Glieder der Folge lauten
[mm] f_0=0
[/mm]
[mm] f_1=1
[/mm]
[mm] f_2=1
[/mm]
[mm] f_3=2
[/mm]
[mm] f_4=3
[/mm]
[mm] f_5=5
[/mm]
[mm] f_6=8
[/mm]
also ist [mm] f_n\ge{n-1} [/mm] für diese Folgenglieder. Damit liegt die Vermutung nahe das das auch für den Rest der Folge gilt.
Der Induktionsanfang ist damit gemacht. Der Induktionsschluß ist wie folgt:
[mm] f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\ge{n-1}+n-2=2n-3\ge{n} [/mm] für [mm] n\ge{6}
[/mm]
Damit ist die Folge unbeschränkt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:56 Di 15.03.2011 | | Autor: | moffeltoff |
Ok ,danke für die schnelle Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Di 15.03.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Untersuchen sie die Folge auf Konvergenz.Bestimmen sie im
> Falle der Konvergenz den Grenzwert.
> Begründen sie ihre Antwort.Ist die Folge beschränkt?
>
> [mm]f_0=0 ,f_1=1 ;f_{n+1}=f_n+f_{n-1}[/mm]
Hallo,
ergänzend:
Die angegebene Folge ist die Fibonacci-Folge. Sie hat im Wesentlichen sogar exponentielles Wachstum.
Hier kannst du mehr über sie erfahren.
Gruß
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