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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Di 21.11.2006 | | Autor: | bonanza |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}
[/mm]
a)Bestimme mit der notwendigen Bedingung die Wendestelle. Waurm kann man auch ohne hinreichende Bedinung sicher sein, dass es sich hierbei wirklich um eine Wendstelle handelt ?
b) [mm] \integral_{1}^{4} \bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}\, [/mm] dx
Welcher Wert ergibt sich im Grenzfall wenn man die Obergrenze gegen [mm] +\infty [/mm] gehen lässt ?
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Hi,
diese Aufgaben sind aus einer Probekausur unseres Lehrers, diese sollen wir nun lösen, allerdings weiß ich nicht, warum es sich "wirklich um eine Wendestelle handelt" und welcher Wert sich in dem Grenzfall (siehe aufgabenteil b) ergibt.
Allerdings habe ich für Aufgabenteil a schonmal die 2. Ableitung gebildet:
[mm] f''(x)=\bruch{80(3x^3-x^2-8x-6}{x^4*(x+2)^4}
[/mm]
Wäre super, wenn mir da einer helfen könnte.
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Hi, bonanza,
> [mm]f(x)=\bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}[/mm]
>
> a)Bestimme mit der notwendigen Bedingung die Wendestelle.
> Waurm kann man auch ohne hinreichende Bedinung sicher sein,
> dass es sich hierbei wirklich um eine Wendstelle handelt ?
>
> b) [mm]\integral_{1}^{4} \bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}\,[/mm] dx
>
> Welcher Wert ergibt sich im Grenzfall wenn man die
> Obergrenze gegen [mm]+\infty[/mm] gehen lässt ?
> diese Aufgaben sind aus einer Probekausur unseres Lehrers,
> diese sollen wir nun lösen, allerdings weiß ich nicht,
> warum es sich "wirklich um eine Wendestelle handelt" und
> welcher Wert sich in dem Grenzfall (siehe aufgabenteil b)
> ergibt.
>
> Allerdings habe ich für Aufgabenteil a schonmal die 2.
> Ableitung gebildet:
>
> [mm]f''(x)=\bruch{80(3x^3-x^2-8x-6}{x^4*(x+2)^4}[/mm]
Dieses Ergebnis kann schon alleine deswegen nicht stimmen, weil der Nenner Deiner Funktion nicht zerlegbar ist; daher kann auch niemals der von Dir angegebene Nenner der 2. Ableitung stimmen!
Mit DERIVE erhalte ich das Ergebnis:
f''(x) = [mm] \bruch{240*(x^{3}-3x^{2}+2)}{(x^{2}-2x+4)^{4}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Di 21.11.2006 | | Autor: | bonanza |
ok, da kannst du recht haben, allerdings wäre da noch immer das Problem mit den ganze aufgaben :-\ ...
Warte noch auf die "Rettung" ;)
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Hi, bonanza,
> [mm]f(x)=\bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}[/mm]
>
> a)Bestimme mit der notwendigen Bedingung die Wendestelle.
> Warum kann man auch ohne hinreichende Bedinung sicher sein,
> dass es sich hierbei wirklich um eine Wendstelle handelt ?
Die in meiner vorigen Antwort erhaltene 2. Ableitung hat DREI (!) Nullstellen.
Alle drei sind EINfache Nullstellen von f'', also Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Das bedeutet: In allen 3 Stellen findet ein Krümmungswechsel statt; demnach sind es alles Wendestellen!
> b) [mm]\integral_{1}^{4} \bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}\,[/mm] dx
>
> Welcher Wert ergibt sich im Grenzfall wenn man die
> Obergrenze gegen [mm]+\infty[/mm] gehen lässt ?
[mm] \integral_{1}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
(ich lasse dann die Obergrenze, die ich b nenne, gegen Unendlich gehen!)
= [mm] 10*\integral_{1}^{b}{\bruch{2x-2}{(x^{2}-2x+4)^{2}} dx}
[/mm]
Das Integral wird mit Hilfe der Substitution z = [mm] x^{2}-2x+4 [/mm] gelöst.
Man erhält daher:
... = [mm] [-\bruch{10}{x^{2}-2x+4}]_{1}^{b}
[/mm]
= [mm] -\bruch{10}{b^{2}-2b+4} [/mm] + [mm] \bruch{10}{1-2+4}
[/mm]
Wenn b [mm] \to \infty [/mm] geht, geht der 1. Bruch gegen 0.
Demnach ergibt sich dann als Grenzwert der Flächenmaßzahl: [mm] \bruch{10}{3}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Di 21.11.2006 | | Autor: | bonanza |
> Hi, bonanza,
>
> > [mm]f(x)=\bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}[/mm]
> >
> > a)Bestimme mit der notwendigen Bedingung die Wendestelle.
> > Warum kann man auch ohne hinreichende Bedinung sicher sein,
> > dass es sich hierbei wirklich um eine Wendstelle handelt ?
>
> Die in meiner vorigen Antwort erhaltene 2. Ableitung hat
> DREI (!) Nullstellen.
> Alle drei sind EINfache Nullstellen von f'', also
> Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Das bedeutet: In allen 3
> Stellen findet ein Krümmungswechsel statt; demnach sind es
> alles Wendestellen!
Was heißt EINfache Nullstelle ? Ich erhalte als Nullstellen:
{1 ; [mm] \wurzel{3}+1 [/mm] ; [mm] \wurzel{3}-1 [/mm] }
Woran sehe ich, dass es einen Vorzeichenwechsel gibt oder nicht ?
>
> > b) [mm]\integral_{1}^{4} \bruch{20x-20}{(x^2-2x+4)^2}\,[/mm] dx
> >
> > Welcher Wert ergibt sich im Grenzfall wenn man die
> > Obergrenze gegen [mm]+\infty[/mm] gehen lässt ?
>
> [mm]\integral_{1}^{b}{f(x) dx}[/mm]
> (ich lasse dann die Obergrenze,
> die ich b nenne, gegen Unendlich gehen!)
>
> = [mm]10*\integral_{1}^{b}{\bruch{2x-2}{(x^{2}-2x+4)^{2}} dx}[/mm]
>
> Das Integral wird mit Hilfe der Substitution z = [mm]x^{2}-2x+4[/mm]
> gelöst.
> Man erhält daher:
>
> ... = [mm][-\bruch{10}{x^{2}-2x+4}]_{1}^{b}[/mm]
>
> = [mm]-\bruch{10}{b^{2}-2b+4}[/mm] + [mm]\bruch{10}{1-2+4}[/mm]
>
> Wenn b [mm]\to \infty[/mm] geht, geht der 1. Bruch gegen 0.
>
> Demnach ergibt sich dann als Grenzwert der Flächenmaßzahl:
> [mm]\bruch{10}{3}[/mm]
>
> mfG!
> Zwerglein
Danke für deine Antwort !
mfg
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Hi, bonanza,
> > Die in meiner vorigen Antwort erhaltene 2. Ableitung hat
> > DREI (!) Nullstellen.
> > Alle drei sind EINfache Nullstellen von f'', also
> > Nullstellen mit Vorzeichenwechsel. Das bedeutet: In allen 3
> > Stellen findet ein Krümmungswechsel statt; demnach sind es
> > alles Wendestellen!
>
> Was heißt EINfache Nullstelle ? Ich erhalte als
> Nullstellen:
>
> 1 ; [mm]\wurzel{3}+1[/mm] ; [mm]\wurzel{3}-1[/mm]
Naja: Die beiden letzteren sind wohl eher 1 [mm] \pm \wurzel{3}.
[/mm]
> Woran sehe ich, dass es einen Vorzeichenwechsel gibt oder
> nicht ?
Eben daran, dass es EINfache Nullstellen sind, also Nullstellen, bei denen der zugehörige Graph (hier natürlich der von f'') die x-Achse SCHNEIDET. Eine DOPPELTE Nullstelle der 2. Ableitung wäre KEINE Wendestelle
(da ohne Vorzeichenwechsel).
Allgemein gilt:
Nullstellen (von f'' ) mit UNgerader Vielfachheit sind Wendestellen,
Nullstellen (") mit gerader Vielfachheit sind KEINE Wendestellen.
mfG!
Zwerglein
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