Klausur < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Sinned |
| Aufgabe | Ermitteln sie die Stellen, an denen die Graphen der Funktionen
[mm] f(x)=\bruch{1}{5}x^{5} [/mm] und [mm] g(x)=-\bruch{4}{3}x^{3}+5x [/mm] parallele Tangenten haben und erläutern Sie den Rechenweg. |
Der Lösungsweg und die Lösung waren absolut richtig, trotzdem habe ich einen (nötigen) Punkt abgezogen bekommen, weil ich [mm] x^{2} [/mm] nicht Substituiert habe, was weder in der Aufgabenstellung, noch für die Formeln verlangt wird. Ich würde jetzt gerne wissen, ob das wirklich als Fehler gelten darf oder nicht. Danke
[mm] f(x)=\bruch{1}{5}x^{5} [/mm] Ableitungsfunktion: [mm] f'(x)=x^{4}
[/mm]
[mm] g(x)=-\bruch{4}{3}x^{3}+5x [/mm] Ableitungsfunktion: [mm] g'(x)=-4x^{2}+5
[/mm]
Setze f'(x) und g'(x) gleich:
[mm] x^{4}=-4x^{2}+5 |-x^{4}
[/mm]
[mm] 0=-x^{4}-4x^{2}+5 [/mm] |*(-1)
[mm] 0=x^{4}+4x^{2}-5 [/mm] |a-b-c-Formel
[mm] 0=ax^{2}+bx+c [/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{-\bruch{b}{2}\pm\wurzel{\bruch{b}{2}^{2}-ac}}{a}
[/mm]
[mm] a=x^{2} [/mm] b=4x c=-5
[mm] x_{1,2}=\bruch{-\bruch{4x}{2}\pm\wurzel{\bruch{4x}{2}^{2}+5x^{2}}}{a}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{-2x\pm\wurzel{9x^{2}}}{x^{2}}
[/mm]
[mm] x_{1,2}=\bruch{2x\pm3x}{x^{2}}
[/mm]
Fall1:
[mm] x_{1}=\bruch{-2x+3x}{x^{2}} [/mm] |*x
[mm] x_{1}^{2}=1 |\wurzel{}
[/mm]
[mm] x_{1}=\pm1
[/mm]
Fall2:
[mm] x_{2}=\bruch{-2x-3x}{x^{2}} [/mm] |*x
[mm] x_{2}^{2}=-4 |\wurzel{}
[/mm]
[mm] x_{2}=leere [/mm] Menge (Wurzel aus Negativ)
[mm] Lösungsmenge_{x}=[-1;1]
[/mm]
Erklärung:
Die Tangenten sind Parallel zueinander, wenn ihre Steigung m gleich ist. Denn b bestimmt nur die Verschiebung auf der y-Achse.
y=mx+b
Zuerst werden die Ableitungsfunktionen berechnet.
Da wir herausfinden wollen, bei welchem x-Wert die Steigung von f(x) und g(x) gleich ist, setzen wir f'(x) und g'(x) gleich.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sinned!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Ermitteln sie die Stellen, an denen die Graphen der
> Funktionen
> [mm]f(x)=\bruch{1}{5}x^{5}[/mm] und [mm]g(x)=-\bruch{4}{3}x^{3}+5x[/mm]
> parallele Tangenten haben und erläutern Sie den Rechenweg.
> Der Lösungsweg und die Lösung waren absolut richtig,
> trotzdem habe ich einen (nötigen) Punkt abgezogen bekommen,
> weil ich [mm]x^{2}[/mm] nicht Substituiert habe, was weder in der
> Aufgabenstellung, noch für die Formeln verlangt wird. Ich
> würde jetzt gerne wissen, ob das wirklich als Fehler gelten
> darf oder nicht. Danke
>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{5}x^{5}[/mm] Ableitungsfunktion: [mm]f'(x)=x^{4}[/mm]
> [mm]g(x)=-\bruch{4}{3}x^{3}+5x[/mm] Ableitungsfunktion:
> [mm]g'(x)=-4x^{2}+5[/mm]
> Setze f'(x) und g'(x) gleich:
> [mm]x^{4}=-4x^{2}+5 |-x^{4}[/mm]
> [mm]0=-x^{4}-4x^{2}+5[/mm] |*(-1)
> [mm]0=x^{4}+4x^{2}-5[/mm] |a-b-c-Formel
>
> [mm]0=ax^{2}+bx+c[/mm]
> [mm]x_{1,2}=\bruch{-\bruch{b}{2}\pm\wurzel{\bruch{b}{2}^{2}-ac}}{a}[/mm]
> [mm]a=x^{2}[/mm] b=4x c=-5
Die Parameter a, b und c ergeben sich aus den Koeffizienten der x - und zwar nur aus diesen! Demnach wäre a=1, b=4 und c=-5.
> [mm]x_{1,2}=\bruch{-\bruch{4x}{2}\pm\wurzel{\bruch{4x}{2}^{2}+5x^{2}}}{a}[/mm]
> [mm]x_{1,2}=\bruch{-2x\pm\wurzel{9x^{2}}}{x^{2}}[/mm]
> [mm]x_{1,2}=\bruch{2x\pm3x}{x^{2}}[/mm]
> Fall1:
> [mm]x_{1}=\bruch{-2x+3x}{x^{2}}[/mm] |*x
> [mm]x_{1}^{2}=1 |\wurzel{}[/mm]
> [mm]x_{1}=\pm1[/mm]
> Fall2:
> [mm]x_{2}=\bruch{-2x-3x}{x^{2}}[/mm] |*x
> [mm]x_{2}^{2}=-4 |\wurzel{}[/mm]
> [mm]x_{2}=leere[/mm] Menge (Wurzel aus
> Negativ)
> [mm]Lösungsmenge_{x}=[-1;1][/mm]
> Erklärung:
> Die Tangenten sind Parallel zueinander, wenn ihre Steigung
> m gleich ist. Denn b bestimmt nur die Verschiebung auf der
> y-Achse.
> y=mx+b
> Zuerst werden die Ableitungsfunktionen berechnet.
> Da wir herausfinden wollen, bei welchem x-Wert die
> Steigung von f(x) und g(x) gleich ist, setzen wir f'(x) und
> g'(x) gleich.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Die Lösung an sich ist richtig und auch schlüssig, allerdings hast du einen formalen Fehler begangen, eben weil du nicht substituiert hast. Um deine a-b-c-Formel anwenden zu können muss eine quadratische Gleichung vorliegen. Hier liegt jedoch eine biquadratische Gleichung von. Für diese Art der Gleichung gibt es keine Lösungsformel, es sei denn man kann sich durch geeignete Substitution die biquadratische Gleichung in die einfachere Form der quadratischen Gleichung, für die ja bekanntlich eine Lösungsformel existiert, überführen.
Kurz und knapp: Substituierst du nicht, so fehlt dir die grundlegende Voraussetzung um deine Lösungsformel anwenden zu dürfen. Deshalb ist es -leider- durchaus verständlich, dir den nötigen Punkt nicht zu geben. Achte das nächste mal einfach darauf, denn in der Mathematik kann man nichts einfach so machen, es muss begründet werden können.
Gruß,
Tommy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Sinned |
Aber ließe [mm] x^{4}+4x^{2}-5 [/mm] sich nicht auch als [mm] \overbrace{x^{2}}^{=a} *x^{2}+\overbrace{4x}^{=b}*x-\overbrace{5}^{=c}
[/mm]
schreiben (Faktorisieren)? Dann könnte ich doch jeweils den ersten Faktor als a, bzw. b benennen, oder? Variablen dürfen ja schließlich Teil von anderen Variablen sein, so gibt es auch z.b. z=n+2...
Und ich habe erst gerechnet, als alles (also a, b und c) richtig eingesätzt war.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 30.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo,
Leider nicht, um die Mitternachtsformel anwenden zu können, muss der Term in die Form
ax²+bx+c=0 umgeformt werden. Ausserdem dient sie ja zur Berechnung von x, so dass es wenig Sinn macht, im hinteren Teil wieder das x zu haben.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Sinned |
Natürlich, ich gebe ja zu, dass es durch eine Substitution einfacher wäre, aber falsch dürfte der Lösungsweg trotzdem nicht sein... hm...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Mo 30.10.2006 | | Autor: | M.Rex |
Doch, weil die Parameter a,b und c keinesfalls von x abhängig sein dürfen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Sinned |
Gut, Danke Markus...
Kannst du mir vielleicht sagen, wo ich diese Regel nachlesen kann?
Sinned
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Hallo Sinned,
> Gut, Danke Markus...
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> Kannst du mir vielleicht sagen, wo ich diese Regel
> nachlesen kann?
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  ganzrationale Funktion, dort wird zugleich mit der Definition auch festgelegt, dass Koeffizienten grundsätzlich Zahlen aus [mm] \IR [/mm] sind, also nie eine Variable enthalten können.
Gruß informix
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