Klasseneinteilung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Do 06.12.2012 | | Autor: | NUT |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Abbildung
[mm] \phi:\IC^\*\to \IR^\*[/mm] mit [mm]\phi(z)=|z|[/mm]
ein Homomorphismus von [mm](\IC^\*,*)[/mm] in [mm](\IR^\*,*)[/mm] ist und geben Sie den Kern von [mm]\phi[/mm] an. Wie sieht die zugehörige Klasseneinteilung [mm]\IC^\*/Kern\phi[/mm] aus? |
Hallo,
also die ersten beiden Fragen kann ich beantworten. Leider fehlt mir bei der letzten Vorstellung, was ich machen soll. Der Kern[mm]\phi[/mm] sind alle komplexen Zahlen mit Betrag gleich Null. Aber in welche Klassen teilt der Kern nun [mm]\IC^\*[/mm]?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:30 Do 06.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass die Abbildung
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> [mm]\phi:\IC^\*\to \IR^\*[/mm] mit [mm]\phi(z)=|z|[/mm]
>
> ein Homomorphismus von [mm](\IC^\*,*)[/mm] in [mm](\IR^\*,*)[/mm] ist und
> geben Sie den Kern von [mm]\phi[/mm] an. Wie sieht die zugehörige
> Klasseneinteilung [mm]\IC^\*/Kern\phi[/mm] aus?
>
> Hallo,
> also die ersten beiden Fragen kann ich beantworten. Leider
> fehlt mir bei der letzten Vorstellung, was ich machen soll.
> Der Kern[mm]\phi[/mm] sind alle komplexen Zahlen mit Betrag gleich
> Null.
Nein, schau nochmal hin. 0 ist weder in [mm] $\IR^\ast$ [/mm] noch in [mm] $\IC^\ast$ [/mm] enthalten.
> Aber in welche Klassen teilt der Kern nun [mm]\IC^\*[/mm]?
Die Aequivalenzklasse eines Elementes $x [mm] \in \IC^\ast$ [/mm] ist gleich $x [mm] \cdot \ker \phi$.
[/mm]
Aber bestimm erstmal den Kern richtig.
Ansonsten, ueberleg doch mal: wie sieht die Menge der komplexen Zahlen aus, deren Betrag gleich sagen wir $r > 0$ ist?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Do 06.12.2012 | | Autor: | NUT |
Ok, es handelt sich ja um ein Gruppenhomomorphismus. Das heißt, die Menge aller komplexen Zahlen mit Betrag eins:
[mm] z=e^{i\varphi} [/mm], [mm] 0\le\varphi\le2\pi [/mm].
Die Klassen von [mm] z=re^{i\varphi'} [/mm] ist dann
[mm] [z]=\{re^{i(\varphi+\varphi')}| 0\le\varphi\le2\pi \} [/mm].
Also alle komplexen Zahlen mit dem gleichen Betrag (liegen auf dem selben Kreis mit Radius [mm]r[/mm]).
Kann ich dann unter der Klasseneinteilung verstehen, dass diese an unterschiedlichen Kreisen vorgenommen wird?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Do 06.12.2012 | | Autor: | NUT |
Frage: siehe Mitteilung (sorry).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:12 Do 06.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, es handelt sich ja um ein Gruppenhomomorphismus. Das
> heißt, die Menge aller komplexen Zahlen mit Betrag eins:
>
> [mm]z=e^{i\varphi} [/mm], [mm]0\le\varphi\le2\pi [/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Klassen von [mm]z=re^{i\varphi'}[/mm] ist dann
>
> [mm][z]=\{re^{i(\varphi+\varphi')}| 0\le\varphi\le2\pi \} [/mm].
>
> Also alle komplexen Zahlen mit dem gleichen Betrag (liegen
> auf dem selben Kreis mit Radius [mm]r[/mm]).
Genau.
> Kann ich dann unter der Klasseneinteilung verstehen, dass
> diese an unterschiedlichen Kreisen vorgenommen wird?
Ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Do 06.12.2012 | | Autor: | NUT |
Vielen Dank für Deine Hilfe!
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