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Halle Matheraum^^
Ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
Seien [mm] v,R,\omega [/mm] > 0. Seien [mm] \vec{\Phi}: \IR \to \IR^3 [/mm] und [mm] \vec{F}:\IR^3 \to \IR^3 [/mm] gegeben durch
t [mm] \mapsto \vec{\Phi}(t)=\vektor{R \\ \omega t \\ v t}
[/mm]
[mm] (r,\phi,z) \mapsto \vec{F}(r,\phi,z)=\vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi) \\ z}
[/mm]
Berechne [mm] (\vec{F} \circ \vec{\Phi})' [/mm] mit Hilfe der Kettenregel.
Meine Herangehensweise:
[mm] (\vec{F} \circ \vec{\Phi})' [/mm] , [mm] \vec{F} \circ \vec{\Phi}: \IR \to \IR
[/mm]
Kettenregel: [mm] (\vec{F} \circ \vec{\Phi})'(r, \phi, [/mm] z)= [mm] \vec{F}'(\vec{\Phi}(t)) \cdot \vec{\Phi}'(t)
[/mm]
Ich berechne zunächst [mm] \vec{F}'(r, \phi, [/mm] z):
[mm] \vec{F}'(r, \phi, z)=\vektor{cos(\phi) \\ r cos(\phi) \\ 1}
[/mm]
Ich berechne anschließend [mm] \vec{\Phi}'(t):
[/mm]
[mm] \vec{\Phi}'(t)=\vektor{0 \\ \omega \\ v}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\vec{F} \circ \vec{\Phi})'(r, \phi, [/mm] z)=(cos(R), r cos [mm] (\omega [/mm] t), 1) [mm] \cdot \vektor{0 \\ \omega \\ v}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (\vec{F} \circ \vec{\Phi})'(r, \phi, [/mm] z)=0 + r [mm] \omega cos(\omega [/mm] t) + v
Es handelt sich ja hierbei um eine Koordinatentransformation.
Meine Frage ist nun, ob es richtig ist, wenn ich das so mache oder ob ich, da es sich ja bei [mm] (r,\phi,z) \mapsto \vec{F}(r,\phi,z)=\vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi) \\ z} [/mm] um Kugelkoordinaten handelt, die Einheitsvektoren hätte mit ableiten müssen (bzw. [mm] \vec{e_r}, \vec{e_\phi} [/mm] hätte mit ableiten müssen)
ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
mfg dodo4ever
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Hallo dodo4ever,
> Halle Matheraum^^
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> Ich habe mal eine Frage zu folgender Aufgabe:
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> Seien [mm]v,R,\omega[/mm] > 0. Seien [mm]\vec{\Phi}: \IR \to \IR^3[/mm] und
> [mm]\vec{F}:\IR^3 \to \IR^3[/mm] gegeben durch
>
> t [mm]\mapsto \vec{\Phi}(t)=\vektor{R \\ \omega t \\ v t}[/mm]
>
> [mm](r,\phi,z) \mapsto \vec{F}(r,\phi,z)=\vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi) \\ z}[/mm]
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> Berechne [mm](\vec{F} \circ \vec{\Phi})'[/mm] mit Hilfe der
> Kettenregel.
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> Meine Herangehensweise:
>
> [mm](\vec{F} \circ \vec{\Phi})'[/mm] , [mm]\vec{F} \circ \vec{\Phi}: \IR \to \IR[/mm]
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> Kettenregel: [mm](\vec{F} \circ \vec{\Phi})'(r, \phi,[/mm] z)=
> [mm]\vec{F}'(\vec{\Phi}(t)) \cdot \vec{\Phi}'(t)[/mm]
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> Ich berechne zunächst [mm]\vec{F}'(r, \phi,[/mm] z):
>
> [mm]\vec{F}'(r, \phi, z)=\vektor{cos(\phi) \\ r cos(\phi) \\ 1}[/mm]
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> Ich berechne anschließend [mm]\vec{\Phi}'(t):[/mm]
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> [mm]\vec{\Phi}'(t)=\vektor{0 \\ \omega \\ v}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow (\vec{F} \circ \vec{\Phi})'(r, \phi,[/mm]
> z)=(cos(R), r cos [mm](\omega[/mm] t), 1) [mm]\cdot \vektor{0 \\ \omega \\ v}[/mm]
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> [mm]\Rightarrow (\vec{F} \circ \vec{\Phi})'(r, \phi,[/mm] z)=0 + r
> [mm]\omega cos(\omega[/mm] t) + v
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> Es handelt sich ja hierbei um eine
> Koordinatentransformation.
>
> Meine Frage ist nun, ob es richtig ist, wenn ich das so
> mache oder ob ich, da es sich ja bei [mm](r,\phi,z) \mapsto \vec{F}(r,\phi,z)=\vektor{r cos(\phi) \\ r sin(\phi) \\ z}[/mm]
> um Kugelkoordinaten handelt, die Einheitsvektoren hätte
> mit ableiten müssen (bzw. [mm]\vec{e_r}, \vec{e_\phi}[/mm] hätte
> mit ableiten müssen)
>
Das ist so richtig, wie Du es gemacht hast.
> ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>
> mfg dodo4ever
Gruss
MathePower
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