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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Kettenlinie
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Kettenlinie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:22 Sa 16.05.2009
Autor: itse

Aufgabe
Ein durchhängendes Seil hat die Form einer Kettenlinie

$y(x) = a [mm] \cdot{} [/mm] cosh [mm] \left( \bruch{x-b}{a} \right) [/mm] + c$

$a,b,c [mm] \in \IR$ [/mm]
$a > 0$

Zeigen Sie: $ay'' = [mm] \wurzel{1+(y')^2}$ [/mm]

Hallo Zusammen,

als erstes habe ich die beiden Ableitungen bestimmt, hierbei erhalte ich

$y' = a [mm] \cdot{} [/mm] sinh  [mm] \left( \bruch{1}{a} \right)$ [/mm]

$y'' = a [mm] \cdot{} [/mm] cosh(0)$ = a


Die erste Ableitung quadriere ich noch: $(y')² = a² [mm] \cdot{} [/mm] sinh²  [mm] \left( \bruch{1}{a} \right)$ [/mm]

Nun soll ich zeigen, dass: $ay'' = [mm] \wurzel{1+(y')^2}$ [/mm]

Ich setze ein:

a² =  [mm] \wurzel{1+ a² \cdot{} sinh² \left( \bruch{1}{a} \right)} [/mm] |quadrieren, obwohl diese keine Äuqivalenzumformung ist

=> [mm] a^4 [/mm] = 1+ a² [mm] \cdot{} [/mm] sinh²  [mm] \left( \bruch{1}{a} \right) [/mm]

<=>  [mm] a^4 [/mm] = 1+ a² [mm] \cdot{} \left( \bruch{e^{2 \cdot{} \bruch{1}{a}} - e^{-2 \cdot{}\bruch{1}{a}}}{2} \right)² [/mm]

<=>  [mm] a^4 [/mm] = 1+ a² [mm] \cdot{} \left( \bruch{e^{\bruch{4}{a}} - 2 + e^{-\bruch{4}{a}}}{4} \right) [/mm]

<=>  [mm] \bruch{4(a^4 - 1)}{a²} [/mm] = [mm] e^{\bruch{4}{a}} [/mm] - 2 + [mm] e^{-\bruch{4}{a}} [/mm] | Substitution: z = [mm] e^{\bruch{4}{a}} [/mm]

<=>  [mm] \bruch{4(a^4 - 1)}{a²} [/mm] = z - 2 + [mm] \bruch{1}{z} [/mm]

<=> [mm] a²z²-(2a²+4a^4-4)z+a² [/mm]

Hierfür nun zwei Lösungen bestimmen und Rücksubstitution, dann komme ich auf:

[mm] \bruch{4}{a^4}(a^8+a^6-2a^4-a²+1) [/mm] = [mm] \left( e^{\bruch{4}{a}} - 2 - 2a² + \bruch{2}{a²} \right)^² [/mm]

= [mm] 4a^4 [/mm] + 4a² - 8 - [mm] \bruch{4}{a²} [/mm] + [mm] \bruch{4}{a^4} [/mm] = [mm] \left( e^{\bruch{4}{a}} - 2 - 2a² + \bruch{2}{a²} \right)^² [/mm]


Stimm dies überhaupt? Gibt es keinen einfacheren Weg, außerdem soll ich ja zeigen, dass: $ay'' = [mm] \wurzel{1+(y')^2}$, [/mm] wenn ich aber schon im ersten Schritt quadriere kann ich nicht mehr <=> schreiben, oder doch da a > 0 definiert ist und es somit keine Fallunterscheidung bezüglich Plus und Minus gibt?

Vielen Dank,
itse



        
Bezug
Kettenlinie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:40 Sa 16.05.2009
Autor: weduwe

die 1. ableitung lautet

[mm] y^\prime [/mm] = [mm] sinh(\frac{x-b}{a}) [/mm]

und damit die 2.

[mm] y^\prime^\prime=\frac{1}{a}cosh(\frac{x-b}{a}) [/mm]

womit du mit [mm]cosh^2x-sinh^2x=1[/mm] schon am ziel bist

Bezug
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