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| Aufgabe | | Bestimme alle Ketten der Laenge 4, die in der Teilmenge {1,2}x{1,2,3} von [mm] \IN^{2} [/mm] enthalten sind. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Kettenlaenge-bei-Ordnungsrelation
Fühle mich da aber nicht wohl, das hier wirkt seriöser...
Ich kopiere die Frage...:
Ich habe das kartesische Produkt so gebildet:
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}
Ich habe ein reines Verständnisproblem: Im Script steht nur folgendes:
"Es sei M eine teilgeordnete Menge und N enthalten in M, so daß die auf N induzierte
Ordnung eine Totalordnung ist. Dann ist N eine Kette in M."
1. Verstehe ich nicht, wieso die induzierte Ordnung auf N totalgeordnet sein soll (sein kann), wenn M nur eine teilgeordnete Menge ist?
2. Was ist die "Kettenlänge" und wie berechnet man diese?
ps. Das ist übrigens Teilaufgabe b), Teilaufgabe a) beschäftigte sich damit, zu zeigen, dass <= eine Ordnungsrelation definiert (weiss nicht inwieweit das relevant ist?)
Wäre froh über Hilfe, komme echt nicht weiter.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Sa 26.04.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Bestimme alle Ketten der Laenge 4, die in der Teilmenge
> {1,2}x{1,2,3} von [mm]\IN^{2}[/mm] enthalten sind.
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Kettenlaenge-bei-Ordnungsrelation
> Fühle mich da aber nicht wohl, das hier wirkt
> seriöser...
> Ich kopiere die Frage...:
>
> Ich habe das kartesische Produkt so gebildet:
>
> {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}
>
> Ich habe ein reines Verständnisproblem: Im Script steht
> nur folgendes:
>
> "Es sei M eine teilgeordnete Menge und N enthalten in M,
> so daß die auf N induzierte
> Ordnung eine Totalordnung ist. Dann ist N eine Kette in
> M."
Zur Klärung : M ist dabei die von dir aufgeschriebene Menge
M = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)}
>
> 1. Verstehe ich nicht, wieso die induzierte Ordnung auf N
> totalgeordnet sein soll (sein kann), wenn M nur eine
> teilgeordnete Menge ist?
Das ist so, weil eben nicht jede Teilmenge von M als Kette bezeichnet wird, sondern lediglich solche Teilmengen N, bei denen die Teilordnung von M angewandt auf nur die Elemente von N dort die Axiome einer Totalordnung erfüllen.
>
> 2. Was ist die "Kettenlänge" und wie berechnet man diese?
>
>
Die Kettenlänge einer Kette N ist die Mächtigkeit der Menge N.
>
Im Beispiel ist etwa (1,2)<=(2,2), weil $ [mm] 1\le [/mm] 2 $ und $ 2 [mm] \le [/mm] 2 $ ist, hingegen lassen sich die Elemente (1,2) und (2,1) nicht vergleichen, weder ist (1,2)<=(2,1) noch ist (2,1)<=(1,2) .
[mm] N_1 [/mm] = {(1,2),(2,2)} ist also eine Kette (der Länge 2), hingegen ist [mm] N_2 [/mm] = {(1,2),(2,1),(2,2)} keine Kette.
Vielleicht hilft es dir, alle Ketten der Länge 4 zu finden, wenn du an Wege im Quadratgitter denkst.
Gruß Sax.
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| Aufgabe | | Bestimme alle Ketten der Laenge 4, die in der Teilmenge {1,2}x{1,2,3} von $ [mm] \IN^{2} [/mm] $ enthalten sind. |
Hi, super Antwort, hast mir schon sehr viel weitergeholfen.
Deinen Hinweis mit den Wegen in Quadratgittern konnte ich leider nicht nutzen.
Ich habe einfach versucht im Kopf sämtliche möglichen Ketten durchzugehen und bin dabei auf folgende 3 Ketten gekommen:
[mm] N_{1}={ (1,1),(1,2),(1,3),(2,3) }
[/mm]
[mm] N_{2}={ (1,1),(2,1),(2,2),(2,3) }
[/mm]
[mm] N_{3}={ (1,1),(1,2),(2,2),(2,3) }
[/mm]
1. Sind diese richtig?
2. Sind das alle Ketten der Länge 4?
3. Das "ausprobieren" ist natürlich unschick. Gibt es eine Systematik alle Ketten einer gewissen Länge herauszufinden? Was hat es mit den Wegen im Quadratgitter auf sich?
Danke für alle Hilfe!
ps. Irgendwie werden die Mengenklammern bei den Ketten nicht angezeigt. Sorry.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 29.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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