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| Aufgabe | Wir betrachten die Folge (xn)n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] x_{1}:=1 [/mm] und [mm] x_{n+1}:=1/(1+x_{n}).
[/mm]
Man zeige für alle n,k [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] |x_{(n+1)+k}-x_{n+1}| \le [/mm] 4/9 [mm] |x_{n+k}-x_{n}| [/mm] |
Hi ihr
Ja, ich kann ja in die linke Seite meine Formel für x(n+1) einsetzen aber ich weiß nicht wie ich zu dem 4/9 kommen soll?
Wäre für etwas Hilfe sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 16.12.2008 | | Autor: | djmatey |
Hi,
bist du sicher, dass die Folge so definiert ist?
Du addierst in jedem Schritt 11 zu dem letzten Folgenglied?
Dann stehen auf der linken und auf der rechten Seite die gleichen Beträge, nämlich 11k, insgesamt also
11k [mm] \le \bruch{4}{9} [/mm] * 11k,
was natürlich Schwachsinn ist.
LG djmatey
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:55 Di 16.12.2008 | | Autor: | Babsijane |
Ja ich hab mich wohl vertippt tut mir leid. Danke für den Hinweis.
Hast du njetzt vieleicht noch nen Tip für mich. lg
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Hast Du das k schon wahrgenommen?
Erstmal die ersten 10 Folgenglieder zur Anschauung:
1, [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{2}{3}, \bruch{3}{5}, \bruch{5}{8}, \bruch{8}{13}, \bruch{13}{21}, \bruch{21}{34}, \bruch{34}{55}, \bruch{55}{89}, [/mm] ...
Kennst Du die Zahlen, die im Zähler und Nenner stehen? Es ist die Fibonaccifolge, die sich aus den Startgliedern [mm] a_1=1, a_2=1 [/mm] und der Regel [mm] a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1} [/mm] ergibt.
Der Grenzwert Deiner Folge ist [mm] \bruch{1}{\Phi}=\Phi-1=\bruch{\wurzel{5}-1}{2}, [/mm] wobei [mm] \Phi [/mm] der goldene Schnitt ist.
All das hilft Dir aber für Deine Abschätzung nur bedingt weiter. Doch ein Bildungsgesetz für Zähler und Nenner kannst Du daraus ablesen und vielleicht damit erstmal weiterarbeiten.
Sei [mm] a_n=\bruch{Z_n}{N_n}, [/mm] dann ist [mm] a_{n+1}=\bruch{N_n}{Z_n+N_n}
[/mm]
Das musst Du natürlich erst einmal zeigen.
Aber dann kannst Du es auch verwenden, und relativ leicht das ermitteln, was da gefragt ist.
Liebe Grüße,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 18.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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