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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 27.03.2007 | | Autor: | Hoschi78 |
Nachdem ich gesehen habe mit welchem Erfolg diese Seite betrieben wird, dachte ich, ich nutze dieses Angebot auch....Vielen Dank übrigens schon im Voraus, einige meiner Fragen habe ich bereits durch andere Nutzer in Archiveinträgen klären können.
Also hier jetzt meine Frage:
Fast beiläufig erwähnt Bosch auf Seite 14, dass [mm] \ker \varphi = \{1\} [/mm] äquivalent ist mit der Injektivität von [mm] \varphi [/mm].
Das heisst also nicht anderes als: [mm] \varphi [/mm] injektiv [mm] \gdw \ker \varphi [/mm] = [mm] \{1\}
[/mm]
Nun zur Frage:
1. Mit der "1" ist in diesem Fall ist in diesem Fall doch wohl das neutrale Element bzgl der Multiplikation gemeint?
2. Die Richtung "[mm] \Rightarrow [/mm]" erschient plausibel: Wenn [mm] \varphi [/mm] injektiv ist, dann folgt direkt [mm] \ker \varphi [/mm] = [mm] \{1\}. [/mm] Es kann aufgrund der Injektivität nur ein Element geben, welches auf das neutrale Element abgebildet wird.
Aber wieso gilt die Rückrichtung? Anders formuliert: Wieso folgt aus [mm] \ker \varphi [/mm] = [mm] \{1\} [/mm] das [mm] \varphi [/mm] injektiv ist?
Ich entschuldige mich an dieser Stelle dafür, falls ich mich unklar ausdrücke... Darin war ich leider nie der Beste...
Vielen dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Di 27.03.2007 | | Autor: | comix |
zu 1.: ja
zu 2.: für die Richtung ker [mm] \phi [/mm] = {1} [mm] \Rightarrow \phi [/mm] injektiv braucht man, dass [mm] \phi [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist:
z.z.: f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y.
Sei f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow f(x)*f(y)^{-1}=1 \Rightarrow f(x*y^{-1}) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x*y^{-1} \in [/mm] ker [mm] \phi \Rightarrow x*y^{-1}=1 \Rightarrow [/mm] x=y.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Di 27.03.2007 | | Autor: | Hoschi78 |
Da habe ich wohl etwas auf dem Schlauch gestanden, vielen, vielen Dank!!
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