Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | Sei f: [mm] R^3 \to R^3 [/mm] eine lineare Abbildung:
[mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}, 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}, -x_{1} -2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3})
[/mm]
Bestimme Kern und Bild von f. |
Den Kern hab ich schon bestimmt, der ist meiner Meinung nach [mm] {t(-\bruch{1}{2}, 1, 1}. [/mm] Könnte mir das irgendwer bestätigen??? Beim Bild hab ich aber überhaupt keine Ahnung. Da komm ich nicht weiter. SOS.
Lg Manuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:05 Fr 24.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hi Manabago-
hab für den Kern zwar was anderes raus- allerdings sollte dieser tatsächlich 1dim sein! wenn du das nicht schon gemacht hast:
Bestimm doch mal die Darstellungsmatrix A [mm] \in \IR^{3x3}, [/mm] also hier:
A= [mm] \pmat{ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & 2 }
[/mm]
Löse nun Ax=b mit [mm] b=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] - die Lösungsmenge ist dein Kern!
Das Bild wird von den Spalten deiner Darstellungsmatrix aufgespannt - um eine Basis zu finden musst du nun ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von diesen Spannvektoren finden!
Viele Grüße
Dester
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Hmm, danke erstmals. Könntest du das mit den Spannvektoren und der Matrix etwas präzisieren (haben noch nicht mit Matrizen angefangen, deshalb, sollte ich das Bsp. auch anders lösen)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 So 26.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Der Kern ist Urbild von [mm] (0,0,0)\in\IR^3.
[/mm]
Betrachte also das Gleichungssystem
[mm] x_1-x_2+2x_3 [/mm] = 0
[mm] 2x_1+x_2 [/mm] = 0
[mm] -x_1-2x_2+2x_3 [/mm] = 0
Daraus folgt: Kern = [mm] {\lambda * (1,-2,-\bruch{3}{2}) | \lambda\in\IR}
[/mm]
Nach der Dimensionsformel ist damit das Bild zweidimensional.
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