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| Aufgabe | Sei V = [mm] Pol_3(\IR) [/mm] mit der Basis [mm] B_1={1,x,x^2,x^3} [/mm] und [mm] W=\IR^2 [/mm] mit der Standardbasis [mm] B_2={(1,0)^t,(0,1)^t}.
[/mm]
f: V -> W, p -> [mm] \vektor{p'(0) \\ p(1)}
[/mm]
Bestimme die Unterräume Bild f und Kern f, sowie die Basis von bild f und kern f. |
Hallo zusammen
Hab obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob diese so richtig ist:
Als erstes habe ich die Darstellungsmatrix berechnet:
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
Hier sieht man sofort, das die Basis des Bildes [mm] {\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}} [/mm] sind.
Also ist bild f = [mm] span(\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1})
[/mm]
(dim(bild f)=2)
Den Kern kann ich ja ausrechnen wenn ich Ax=0 löse.
Das gibt dann: [mm] x_2=0, x_3 [/mm] & [mm] x_4 [/mm] beliebig. [mm] x_1=-x_3-x_4
[/mm]
Also wäre eine Basis des Kerns der Matrix = [mm] {\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}}
[/mm]
Somit die Basis des Kerns von f = [mm] {-1,x^2,x^3}
[/mm]
Also ist kern f= [mm] span(-1,x^2,x^3)
[/mm]
Stimmt das so??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei V = [mm]Pol_3(\IR)[/mm] mit der Basis [mm]B_1={1,x,x^2,x^3}[/mm] und
> [mm]W=\IR^2[/mm] mit der Standardbasis [mm]B_2={(1,0)^t,(0,1)^t}.[/mm]
> f: V -> W, p -> [mm]\vektor{p'(0) \\ p(1)}[/mm]
>
> Bestimme die Unterräume Bild f und Kern f, sowie die Basis
> von bild f und kern f.
> Hallo zusammen
>
> Hab obige Aufgabe gelöst und möchte nun wissen, ob diese
> so richtig ist:
>
> Als erstes habe ich die Darstellungsmatrix berechnet:
> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> Hier sieht man sofort, das die Basis des Bildes [mm]{\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}}[/mm]
> sind.
Eine Basis ist nicht eindeutig bestimmt ! Also besser: eine Basis des Bildes ist
[mm] {\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1}}.
[/mm]
Es gibt noch eine einfachere, denn Bild(f)= [mm] \IR^2.
[/mm]
> Also ist bild f = [mm]span(\vektor{1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1})[/mm]
>
> (dim(bild f)=2)
>
> Den Kern kann ich ja ausrechnen wenn ich Ax=0 löse.
> Das gibt dann: [mm]x_2=0, x_3[/mm] & [mm]x_4[/mm] beliebig. [mm]x_1=-x_3-x_4[/mm]
> Also wäre eine Basis des Kerns der Matrix = [mm]{\vektor{-1 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}}[/mm]
Ja, das stimmt.
>
> Somit die Basis des Kerns von f = [mm]{-1,x^2,x^3}[/mm]
Das stimmt nich undwie Du nach obigen Überlegungen drauf kommst, ist mir ein Rätsel.
Den Kern der Matrix hattest Du doch richtig ! Dann ist eine Basis des Kerns von f:
[mm] {-1+x^2, -1+x^3}.
[/mm]
FRED
> Also ist kern f= [mm]span(-1,x^2,x^3)[/mm]
>
> Stimmt das so??
>
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Hallo Fred
Danke für deine Korrekturen!
Habe nicht mehr genau gewusst wie ich es zurückführen muss auf f. Wie schreib ich das den nun korrekt auf?
So: kern [mm] f=(-a+at^2, -a+at^3, a\in \IR) [/mm] ?
Aber jetzt noch eine andere Aufgabe:
Sei V der Vr aller reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 3.
Sei f: V -> [mm] \IR^3 [/mm] gegeben durch
[mm] f(p)=\vektor{p(2) \\ p(0) \\ p(-2)}
[/mm]
Bestimme Kern f und Bild f.
Meine Lösung:
Die Darstellungsmatrix ist ja [mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 4 & 8 }
[/mm]
Auch hier sieht man wieder direkt: Eine möglich Basis des Bildes ist [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 0 \\ -2}, \vektor{4 \\ 0 \\ 4}. [/mm]
Also ist Bild [mm] f=span(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 0 \\ -2}, \vektor{4 \\ 0 \\ 4})
[/mm]
Für den Kern habe ich wieder Ax=0 gelöst und kam auf [mm] x_2=0, x_4 [/mm] beliebig: Wähle [mm] x_4=1, x_3=-2, x_1=0
[/mm]
Also ist eine mögliche Basis vom kern A = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
kern A = [mm] span(\vektor{0 \\ 0 \\ -2 \\ 1})
[/mm]
kern f = [mm] (-2a*t^2+a*t^3, [/mm] a [mm] \in \IR)
[/mm]
Ist das so korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
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> Habe nicht mehr genau gewusst wie ich es zurückführen
> muss auf f. Wie schreib ich das den nun korrekt auf?
> So: kern [mm]f=(-a+at^2, -a+at^3, a\in \IR)[/mm] ?
>
Nein.
Du hast zwei Basisvektoren des Kerns, nämlich die Polynome [mm] -1+t^2 [/mm] und [mm] -1+t^3. [/mm] Der Kern besteht nicht nur aus diesen beiden sondern auch aus allen Linearkombinationen von diesen. Bildlich gesprochen hast du zwei Geraden aufgeschrieben, aber der Kern besteht aus allen Vektoren der Ebene, die diese beiden Geraden enthält.
Richtig wäre also : $ kern [mm] f=\{-a+at^2-b+bt^3 | a,b \in\IR\} [/mm] $, was man üblicherweise noch nach Potenzen von t sortiert aufschreibt.
Beachte : Der Kern ist zweidimensional, also muss die Menge zwei Parameter enthalten.
> Aber jetzt noch eine andere Aufgabe:
>
> Sei V der Vr aller reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
> Sei f: V -> [mm]\IR^3[/mm] gegeben durch
> [mm]f(p)=\vektor{p(2) \\ p(0) \\ p(-2)}[/mm]
> Bestimme Kern f und
> Bild f.
>
> Meine Lösung:
> Die Darstellungsmatrix ist ja [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 4 & 8 }[/mm]
Das stimmt nur dann, wenn die Polynome [mm] p_i(t)=t^{i-1}, [/mm] i=1,2,3,4 in dieser Reihenfolge Basisvektoren sind. Eine Darstellungsmatrix ist immer von den gewählten Basen abhängig !
>
> Auch hier sieht man wieder direkt: Eine möglich Basis des
> Bildes ist [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 0 \\ -2}, \vektor{4 \\ 0 \\ 4}.[/mm]
> Also ist Bild [mm]f=span(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 0 \\ -2}, \vektor{4 \\ 0 \\ 4})[/mm]
>
> Für den Kern habe ich wieder Ax=0 gelöst
Bist du dir sicher, dass du weißt, was x ist ? (Eine Zahl, ein Vektor, ein Polynom, ... ?)
> und kam auf
> [mm]x_2=0, x_4[/mm] beliebig: Wähle [mm]x_4=1, x_3=-2, x_1=0[/mm]
> Also ist
> eine mögliche Basis vom kern A = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> kern A = [mm]span(\vektor{0 \\ 0 \\ -2 \\ 1})[/mm]
> kern f =
> [mm](-2a*t^2+a*t^3,[/mm] a [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
Ja, alles richtig, bei der Angabe des Kerns in deiner Schreibweise sollten Mengenklammern gesetzt werden.
>
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Babybel73 |
Hallo Sax
Danke für deine Antwort!
> Hi,
>
>
> >
> > Habe nicht mehr genau gewusst wie ich es zurückführen
> > muss auf f. Wie schreib ich das den nun korrekt auf?
> > So: kern [mm]f=(-a+at^2, -a+at^3, a\in \IR)[/mm] ?
> >
> Nein.
> Du hast zwei Basisvektoren des Kerns, nämlich die Polynome
> [mm]-1+t^2[/mm] und [mm]-1+t^3.[/mm] Der Kern besteht nicht nur aus diesen
> beiden sondern auch aus allen Linearkombinationen von
> diesen. Bildlich gesprochen hast du zwei Geraden
> aufgeschrieben, aber der Kern besteht aus allen Vektoren
> der Ebene, die diese beiden Geraden enthält.
> Richtig wäre also : [mm]kern f=\{-a+at^2-b+bt^3 | a,b \in\IR\} [/mm],
> was man üblicherweise noch nach Potenzen von t sortiert
> aufschreibt.
> Beachte : Der Kern ist zweidimensional, also muss die
> Menge zwei Parameter enthalten.
>
>
> > Aber jetzt noch eine andere Aufgabe:
> >
> > Sei V der Vr aller reellen Polynome vom Grad [mm]\le[/mm] 3.
> > Sei f: V -> [mm]\IR^3[/mm] gegeben durch
> > [mm]f(p)=\vektor{p(2) \\ p(0) \\ p(-2)}[/mm]
> > Bestimme Kern f
> und
> > Bild f.
> >
> > Meine Lösung:
> > Die Darstellungsmatrix ist ja [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & 4 & 8 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 4 & 8 }[/mm]
>
> Das stimmt nur dann, wenn die Polynome [mm]p_i(t)=t^{i-1},[/mm]
> i=1,2,3,4 in dieser Reihenfolge Basisvektoren sind. Eine
> Darstellungsmatrix ist immer von den gewählten Basen
> abhängig !
>
> >
> > Auch hier sieht man wieder direkt: Eine möglich Basis des
> > Bildes ist [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 0 \\ -2}, \vektor{4 \\ 0 \\ 4}.[/mm]
> > Also ist Bild [mm]f=span(\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 0 \\ -2}, \vektor{4 \\ 0 \\ 4})[/mm]
>
> >
> > Für den Kern habe ich wieder Ax=0 gelöst
>
> Bist du dir sicher, dass du weißt, was x ist ? (Eine Zahl,
> ein Vektor, ein Polynom, ... ?)
Ja x ist ein Vektor...
>
> > und kam auf
> > [mm]x_2=0, x_4[/mm] beliebig: Wähle [mm]x_4=1, x_3=-2, x_1=0[/mm]
> > Also
> ist
> > eine mögliche Basis vom kern A = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ -2 \\ 1}[/mm]
>
> >
> > kern A = [mm]span(\vektor{0 \\ 0 \\ -2 \\ 1})[/mm]
> > kern f =
> > [mm](-2a*t^2+a*t^3,[/mm] a [mm]\in \IR)[/mm]
> >
> > Ist das so korrekt?
>
> Ja, alles richtig, bei der Angabe des Kerns in deiner
> Schreibweise sollten Mengenklammern gesetzt werden.
> >
Du meinst sicherlich diese: { }. Wollte ich eigentlich auch machen, aber die verschwanden dann immer in der Anzeige, desshalb habe ich gedacht, mach ich halt normale Klammern...
>
> Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Ja x ist ein Vektor...
>
und zwar der Koordinatenvektor [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4} [/mm] des Polynoms [mm] x_1+x_2*t+x_3*t^2+x_4*t^3 [/mm] bzgl der Basis [mm] \mathcal{P}=(1,t,t^2, t^3)
[/mm]
> > > und kam auf
> > > [mm]x_2=0, x_4[/mm] beliebig: Wähle [mm]x_4=1, x_3=-2, x_1=0[/mm]
> > >
Hier habe ich vorhin eine Bemerkung vergessen :
Du kamst auf [mm] x_2=0, [/mm] das ist richtig. Aber [mm] x_1=0 [/mm] ergibt sich genauso zwingend und kann nicht gewählt werden, wie deine Ausführungen es nahelegen. Der Kern ist eindimensional, du kannst nur einmal wählen. Richtig ist also :
Aus dem Gleichungssystem folgt [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=0 [/mm] sowie [mm] x_3=-2x_4.
[/mm]
Ich wähle [mm] x_4=1 [/mm] und erhalte [mm] x_3=-2.
[/mm]
Gruß Sax.
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