Kern, normale Matrix < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:36 Do 20.11.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | Sei H ein Hilbertraum und sei [mm] A\in [/mm] L(H,H) (eine stetige lineare Abbildung von H nach H) normal.
Zeige: [mm] Kern(A^2)=Kern(A). [/mm] |
Hallo!
Ich komme nicht auf den Beweis obiger Aussage.
Die Mengeninklusion von rechts nach links ist natürlich klar. Aber die andere Richtung macht mir Probleme.
Habe schon einiges versucht, unter anderem wollte ich verwenden, dass
[mm] \parallel Ax\parallel_{H} [/mm] = [mm] \parallel A_{adjungiert}x\parallel_{H} [/mm] gilt, wobei die Norm durch die Wurzel des Skalarproduktes gebildet wird.
Zum Beispiel:
[mm] \parallel A^2x\parallel_{H}^{2}=. [/mm] Nun könnte man evtl. irgendwelche Sätze über die Adjungierte und Normale Ausnutzen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Do 20.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei H ein Hilbertraum und sei [mm]A\in[/mm] L(H,H) (eine stetige
> lineare Abbildung von H nach H) normal.
> Zeige: [mm]Kern(A^2)=Kern(A).[/mm]
> Hallo!
> Ich komme nicht auf den Beweis obiger Aussage.
> Die Mengeninklusion von rechts nach links ist natürlich
> klar. Aber die andere Richtung macht mir Probleme.
> Habe schon einiges versucht, unter anderem wollte ich
> verwenden, dass
> [mm]\parallel Ax\parallel_{H}[/mm] = [mm]\parallel A_{adjungiert}x\parallel_{H}[/mm]
> gilt, wobei die Norm durch die Wurzel des Skalarproduktes
> gebildet wird.
> Zum Beispiel:
> [mm]\parallel A^2x\parallel_{H}^{2}=.[/mm] Nun könnte
> man evtl. irgendwelche Sätze über die Adjungierte und
> Normale Ausnutzen.
Das sollte man tun ! Sei A normal.
Sei zunächst z [mm] \in [/mm] H. Dann ist [mm] ||Az||^2 [/mm] = <Az,Az> = <A*Az,z> = <AA*z,z> = <A*z,A*z> = ||A*z||², also
(*) ||Az|| = ||A*z|| für jedes z in H
Als nächstes zeigen wir, dass A paranormal ist, d.h.:
(**) [mm] ||Ax||^2 \le ||A^2 [/mm] x|| ||x|| für jedes x in H.
Sei also x in H: Setze z = Ax. Dann folgt mit der Cauchy-Scwarzschen Ungleichung und (*)
[mm] ||Ax||^2 [/mm] = <Ax,Ax> = <A*Ax,x> [mm] \le [/mm] ||A*Ax|| ||x|| = ||A*z|| ||x|| = ||Az|| ||x|| = [mm] ||A^2 [/mm] x|| ||x||.
Nun zum eigentlichen Problem: ist x [mm] \in Kern(A^2), [/mm] also [mm] A^2 [/mm] x = 0, so folgt aus (**), das Ax = 0 ist, also x [mm] \in [/mm] Kern(A).
FRED
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