Kern ist ein Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Es soll bewiesen werden, dass der Kern einer Linearen Abbildung [mm] L:V\rightarrow [/mm] W ein linearer Unterraum von V ist. Es soll ausserdem auch gezeigt werden, dass für jedes [mm] $w_{0}=L(v_{0}) \in [/mm] Bild(L)$ gilt:
[mm] $\{v \in V | L(v) = w_{0} \} [/mm] = [mm] v_{0} [/mm] + Kern(L)$ |
Hallo!
Also zu zeigen ist, dass der Kern für die Skalarmultiplikation und die Vektoraddition abgeschlossen ist und somit ein linearer Unterraum ist. Weiss aber nicht, wie ich hier anfangen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jeden Hinweis dankbar.
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Sei V ein K Vektorraum. [mm]U=Ker(L)=\{v\in V | L(v)=0\}[/mm]
Naja dann klappern wir die Untervektorraumaxiome einmal ab.
(U1) [mm]0\in U[/mm] ist offensichtlich, da [mm]L(0)=0[/mm] (L ist linear)
(U2) [mm]a,b\in U\Rightarrow a+b\in U[/mm] (Linearität ausnutzen)
(U2) [mm]a\in U,\alpha \in K\Rightarrow a*\alpha \in U[/mm] (Linearität ausnutzen)
U2, U3 bekommst du hin.
Anfang U2: [mm] $a,b\in [/mm] U$. Dann ist [mm] L(a+b)=\ldots [/mm] = 0 (L ist linear)
PS: Wenn du deinen math. Background nicht angeben möchtest, dann lass ihn bitte weg. Es macht nur einen Unterschied bestimmt Lösungswegen einem Schüler der Klasse x oder y zu erklären, bzw. einem Studenten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo und Dankesehr!!
$a,b \in U \Rightarrow L(a+b)=L(a)+L(b)=0+0=0$
$a \in U , \alpha \in K \Rightarrow L(\alpha a ) = \alpha L(a) = \alpha \cdot 0 = 0$
ist das so richtig?
bei der zweiten Teilaufgabe:
$L_({v_{0})=v_{0}+Kern(L)$
das heisst auch $v_{0}+Kern(L) \in Bild(L)$
aber wie weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 So 07.11.2010 | | Autor: | Lippel |
> Hallo und Dankesehr!!
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> [mm]a,b \in U \Rightarrow L(a+b)=L(a)+L(b)=0+0=0[/mm]
> [mm]a \in U , \alpha \in K \Rightarrow L(\alpha a ) = \alpha L(a) = \alpha \cdot 0 = 0[/mm]
>
> ist das so richtig?
>
Ja, wobei bei dir $U = Kern(L)$ gilt. Du willst ja gerade für $Kern(L)$ zeigen, dass die Unterraumbedingungen erfüllt sind. Und auch nur mit der Voraussetzung $a,b [mm] \in [/mm] Kern(L)$ gilt: $L(a)=L(b)=0$, was du ja verwendest.
> bei der zweiten Teilaufgabe:
>
> [mm]L_({v_{0})=v_{0}+Kern(L)[/mm]
>
> das heisst auch [mm]v_{0}+Kern(L) \in Bild(L)[/mm]
>
> aber wie weiter?
>
Du musst dir klar machen, dass hier eine Gleichheit von Mengen zu zeigen ist, damit musst du im Grunde zwei Dinge zeigen:
1. $ [mm] \{v \in V | L(v) = w_{0} \} \subseteq v_{0} [/mm] + Kern(L) $
2. $ [mm] \{v \in V | L(v) = w_{0} \} \supseteq v_{0} [/mm] + Kern(L) $
Zu 1.
Du nimmst ein Element aus der ersten Menge, und zeigst, dass es in der zweiten enthalten ist:
Sei [mm]x \in \{v \in V | L(v) = w_{0} \} \Rightarrow L(x) = w_0 [/mm]
Es gilt außerdem [mm] $x=v_{0}+x-v_{0}$ [/mm] und [mm] $w_{0} [/mm] = L(x) = [mm] L(v_{0}+x-v_{0}) [/mm] = [mm] L(v_{0})+L(x-v_{0}) [/mm] = [mm] w_{0}+L(x-v_{0})$.
[/mm]
Daraus folgt [mm]L(x-v_{0}) = 0 \Rightarrow x-v_{0} \in Kern(L)[/mm] und du hast mit [mm]x = v_{0}+x-v_{0}[/mm] gezeigt, dass [mm]x \in v_{0} + Kern(L)[/mm].
Du kannst dich ja mal am zweiten Teil versuchen, falls du den ersten so nachvollziehen konntest.
Viele Grüße, Lippel
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:11 Sa 13.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo und dankesehr Lippel,
folgt nicht automatisch aus dem ersten Beweis das zweite? Man kann ja einfach alles "rückwärts" aufschreiben...
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Hallo,
vielleicht zeigst Du einfach mal, wie Dein "einfach alles rückwärts aufgeschriebener" Beweis aussieht, dann kann man besser ober richtig oder falsch befinden.
Gruß v. Angela
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