Kern(f), Bild(f) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
| Aufgabe | Es sei a= (v1, v2, v3) mit [mm] v1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0)}, v2=\vektor{0 \\ 1 /\\ 1}, [/mm] v3= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und f: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm] mit [mm] f(v1=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}, [/mm] f(v2)= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] und f(v3)= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1} [/mm] gegeben.
a) berechnen Sie f(e1), f(e2) und f(e3) für die Einheitsvektoren ei [mm] \in \IR.
[/mm]
b) Bestimmen Sie jeweils eine Basis für Kern(f) und Bild(f). Zeigen Sie, dass die Dimensionsformel in diesem konkreten Fall eingehalten wird. |
Also die a) hab ich schon gemacht.
Bei der b) fehlt mir der Ansatz. Ich weiß zwar , dass in Bild(f) die vektoren liegen, die auf die Null abgebildet werden, aber ich weiß nicht , wie ich da rechnerisch drauf kommen soll. Ich hoffe mal mir kann jemand helfen;)
Millili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Sa 16.06.2007 | | Autor: | blascowitz |
Kannst du mal bitte die Bilder der Basisvektoren angeben. Weil mich würde mal interessieren wie die Aussehen. Wäre sehr hilfreich. Danke schön
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
Also rausbekommen habe ich da:
f(e1)= [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
f(e2) = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
f(e3) = [mm] \vektor{ -1 \\ 2 \\ -1}
[/mm]
Ich hab noch nicht 100% überprüft ob sie stimmen, aber müssten eigentlich richtig sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:02 Sa 16.06.2007 | | Autor: | blascowitz |
Wie kommst du auf deinen zweiten Bildvektor. Normalerweise stellst du den Vektor den du abbilden möchtest als Linearkombination der angegebenen Vektoren dar und wendest dann darauf f an. Wenn ich aber [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] als Linearkombination der angegeben Vektoren darstellen will, komme ich zum Widerspruch
1= b+c;
0= b+c;
Was im endeffekt heißt 0=1. Deshalb könntest du bitte mal den Rechenweg angeben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ich sag ja, ich habs noch nicht 100% nachgeprüft:)
Also [mm] e2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0\}
[/mm]
und e2= 1(v1)+1(v2)+(-1)(v3)
Also: [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}= \vektor{1\\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1}+\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
So und dann ist f(e2)=f(v1)+(f2)+(-1)f(v3)
Also: [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1}=\vektor{2 \\ -2 \\ 0}
[/mm]
Also wenn ich mich jetzt nicht vertippt habe, müsste es so richtig sein;)
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Frage hat sich erledigt....
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> Also [mm]e2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0\}[/mm]
>
> und e2= 1(v1)+1(v2)+(-1)(v3)
>
> Also: [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}= \vektor{1\\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm]
>
Wie kommst du auf [mm]e2=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
Ich verstehe den Schritt mit der [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] nicht.Danke...
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Hi,
[mm] e_2 [/mm] ist der zweite Einheitsvektor, der zweite Vektor der kanonischen Basis.
Und der soll als LK der [mm] v_i [/mm] ausgedrückt werden
also sind [mm] \lambda,\mu,\nu [/mm] mit [mm] e_2=\lambda v_1+\mu v_2+\nu v_3 [/mm] zu bestimmen
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Sa 16.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du a) richtig gelöst hast, geben die bilder der Standardbasis die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix A.
wenn du A mit deinen urspr. Vektoren mult. müssen die richtigen Bilder rauskommen, das ist ne Art Probe.
für den Kern dann A*x=0
Bild wird durch die Bilder der Basisvektoren aufgespannt. d.h. eine Basis sind die lin. unabhängigen bilder.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
> Hallo
> wenn du a) richtig gelöst hast, geben die bilder der
> Standardbasis die Spaltenvektoren der Abbildungsmatrix A.
Hätte ich dann als Abbildungsmatrix A= [mm] \pmat{ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 }?
[/mm]
Das heißt doch für das Bild brauch ich garnix mehr rechnen , oder?
Also wenn das Bild durch die Bilder der Basisvektoren aufgespannt wird, kann ich dann nicht auch die Bilder von (v1), (v2) und (v3) nehmen?
Danke, Millili
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Das ist jetzt eine dumme Frage, aber könntest du mir erklären wie du auf
e2= 1(v1)+1(v2)+(-1)(v3)
gekommen bist? Wäre nett, danke...
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Hallo trivialesmathe,
leider ist wohl der Vektor [mm] v_1 [/mm] in der Aufgabenstellung falsch aufgeschrieben.
Es müsste lauten [mm] v_1=\vektor{1\\1\\0}
[/mm]
Dann passt das auch mit [mm] e_2=1\cdot{}v_1+1\cdot{}v_2-1\cdot{}v_3.
[/mm]
Das bekommst du raus, indem du das LGS löst:
[mm] \lambda\cdot{}v_1+\mu\cdot{}v_2+\nu\cdot{}v_3=e_2 [/mm] , also
[mm] \lambda\cdot{}\vektor{1\\1\\0}+\mu\cdot{}\vektor{0\\1\\1}+\nu\cdot{}\vektor{1\\1\\1}=\vektor{0\\1\\0}
[/mm]
Mit dem "neuen", m.E. richtigen Vektor [mm] v_1 [/mm] stimmt auch die errechnete Abbildungsmatrix und die Bilder von [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] unter dieser Abbildungsmatrix passen auch.
Ich denke, es war nur falsch aufgeschrieben
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> [mm]e_2=1\cdot{}v_1+1\cdot{}v_2-1\cdot{}v_3.[/mm]
>
> Das bekommst du raus, indem du das LGS löst:
>
> [mm]\lambda\cdot{}v_1+\mu\cdot{}v_2+\nu\cdot{}v_3=e_2[/mm] , also
>
> [mm]\lambda\cdot{}\vektor{1\\1\\0}+\mu\cdot{}\vektor{0\\1\\1}+\nu\cdot{}\vektor{1\\1\\1}=\vektor{0\\1\\0}[/mm]
>
ich verstehe ehrlich gesagt noch immer nicht wie man auf die " [mm]e_2=1\cdot{}v_1+1\cdot{}v_2-1\cdot{}v_3.[/mm]" kommt. Irgendwie sehe ich das nicht. wäre nett wenn mir jemand das noch einmal kurz erklären könnte.
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Hi,
das ist doch ein lösbares LGS, in Matrixschreibweise ist das hier zu lösen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 &\mid 0 \\ 1 & 1 & 1 &\mid 1 \\ 0 & 1 & 1 &\mid 0 }
[/mm]
Wenn du das nun durch elementare Zeilenumformungen in Zeilenstufenform bringst, gibts ne eindeutige Lösung für [mm] \lambda,\mu [/mm] und [mm] \nu
[/mm]
Du bracuhst nicht mal die reine ZSF, addiere mal die 1. Zeile zum -1fachen der 2.Zeile, dann haste schon [mm] \mu, [/mm] das kannste dann weiter einsetzen
Gruß
schachuzipus
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Hallo Millili,
> Hätte ich dann als Abbildungsmatrix A= [mm]\pmat{ -1 & 2 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & -1 }?[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
das stimmt, nur ist dein Vektor [mm] v_1 [/mm] in der Aufgabenstellung m.E. falsch aufgeschrieben, das sollte [mm] v_1=\vektor{1\\1\\0} [/mm] sein, damit auch alle weiteren Rechnungen passen
>
> Das heißt doch für das Bild brauch ich garnix mehr rechnen
> , oder?
> Also wenn das Bild durch die Bilder der Basisvektoren
> aufgespannt wird, kann ich dann nicht auch die Bilder von
> (v1), (v2) und (v3) nehmen?
Hmm, die Spalten der Darstellungsmatrix spannen das Bild(f) auf, bestimme also die Dimension dieses Spaltenraumes, das ist dann die dim(Bild(f))
Das mache am besten, indem du die Abbildungsmatrix auf ZSF bringst, ihr Rang ist = dim(Bild(f))
Wenn du den hast, suche dir aus der Abbildungsmatrix die entsprechende Anzahl von (lin. unabh.) (Spalten-)Vektoren für die Basis des Bildes
dim(Bild) und dim(Kern) ergänzen sich ja zu dim(V)=3
Also kennst du mit dim(Bild) auch dim(Kern)
Zum "manuellen" Bestimmen der dim(Kern) setze [mm] $A\cdot{}v=0$ [/mm] an und berechne diesen Lösungsraum.
> Danke, Millili
Jo
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
Ja stimmt, der Vektor war leider falsch aufgeschrieben, habe ihn jetzt in der Aufgabenstellung berichtigt, danke für den Hinweis;)
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Hallo, also ich habe jetzt den dim Bild(f) berechnet. Kannst du mir erklären wie ich jetzt weiter machen soll um den dim Kern(f) zu bestimmen. Deine erste Erklärung hat mich irgendwie verwirrt. Danke...
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Hallo superstar,
ich nehme an, du hast dim(Bild(f))=2 raus?
Nach der Dimensionsformel ist doch dim(V)=dim(Bild) + dim(Kern)
Hier ist [mm] V=\IR^3, [/mm] also dim(Kern)=1
Das wissen wir schon sofort, wenn wir dim(Bild) haben
Nun soll aber der Kern bzw eine Basis desselben "manuell" berechnet werden.
Da haben wir schon mit dim(Kern)=1 im Hinterkopf ne kleine Kontrolle... 
Im Kern sind ja alle Vektoren, die auf Null abgebildet werden, du musst also ansetzen:
[mm] A\cdot{}v=0 [/mm] mit A die Darstellungsmatrix von oben und [mm] v=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm]
Setze mal so an und bestimme den Lösungsraum, das ist der Kern, also suche ne Lösung, der Vektor, der diesen Lösungsraum aufsopannt, spannt auch den Kern auf und ist eine Basis desselben
Gruß
schachuzipus
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