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Kern eines Homomorphismus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:40 Di 04.05.2010
Autor: MatheLK13

Aufgabe
Sei G eine Gruppe und H Teilmenge von G eine Untergruppe. Wir betrachten die symmetrische Gruppe S G/H auf der Menge der Linksnebenklassen und den Homomorphismus von Gruppen
f: G --> S G/H,    a --> (xH --> axH)
Berechnen Sie Ker(f)  Teilmenge von G

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Meine Vermutung: Ker(f) ={ a Element G | a Element H}, weiß jedoch nicht, ob das stimmt und wie ich es beweisen kann.
Für a Element H gilt:
a -->  axH, mit a Element H, jedoch ist G nicht notwendigerweise kommutatuiv, sodass ich sagen kann: axH = xH...

        
Bezug
Kern eines Homomorphismus: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 10:24 Mi 05.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Sei G eine Gruppe und H Teilmenge von G eine Untergruppe.
> Wir betrachten die symmetrische Gruppe S G/H auf der Menge
> der Linksnebenklassen und den Homomorphismus von Gruppen
>  f: G --> S G/H,    a --> (xH --> axH)

>  Berechnen Sie Ker(f)  Teilmenge von G
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Meine Vermutung: Ker(f) ={ a Element G | a Element H},
> weiß jedoch nicht, ob das stimmt und wie ich es beweisen
> kann.
>  Für a Element H gilt:
>   a -->  axH, mit a Element H, jedoch ist G nicht
> notwendigerweise kommutatuiv, sodass ich sagen kann: axH =
> xH...  

Hallo,

so geht's:

[mm] a\in [/mm] H.

Dann ist [mm] a=axx^{-1}\in [/mm] H  für alle [mm] x\in [/mm] G <==> axH=xH alle [mm] x\in [/mm] G

Damit hast Du, was Du willst - und ich auch. (Ich war zuvor an dieser Stelle, als ich [mm] H\subset [/mm] Kern f zeigen wollte,  auch ins Stocken geraten.)

Gruß v. Angela




Bezug
                
Bezug
Kern eines Homomorphismus: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) fundamentaler Fehler Status 
Datum: 11:24 Mi 05.05.2010
Autor: SEcki


> Dann ist [mm]a=axx^{-1}\in[/mm] H

Kannst du das nochmal erklären? Hast du das Inverse vielleicht falsch herum?

> für alle [mm]x\in[/mm] G <==> axH=xH alle
> [mm]x\in[/mm] G

Ich sehe nur, das dies Äquivalent zu [m]x^{-1}*a*x\in H[/m] ist für alle [m]x\in G[/m]. Das ist auch ne Untergruppe.

> Damit hast Du, was Du willst - und ich auch.

Ich zweifle.

SEcki

Bezug
                        
Bezug
Kern eines Homomorphismus: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 17:57 Mi 05.05.2010
Autor: angela.h.b.


> Ich zweifle.

Tja, bei näherer Betrachtung bin ich auch nicht mehr begeistert.
Da war wohl der Wunsch Vater des Gedankens.

Gruß v. Angela



Bezug
        
Bezug
Kern eines Homomorphismus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 Mi 05.05.2010
Autor: felixf

Moin!

> Sei G eine Gruppe und H Teilmenge von G eine Untergruppe.
> Wir betrachten die symmetrische Gruppe S G/H auf der Menge
> der Linksnebenklassen und den Homomorphismus von Gruppen
>  f: G --> S G/H,    a --> (xH --> axH)

>  Berechnen Sie Ker(f)  Teilmenge von G
>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Meine Vermutung: Ker(f) ={ a Element G | a Element H},
> weiß jedoch nicht, ob das stimmt und wie ich es beweisen
> kann.

Wenn [mm] $\ker(f) [/mm] = H$ ist, dann ist $H$ ein Normalteiler. Und ist umgekehrt $H$ ein Normalteiler, so kann man aus $a [mm] \in [/mm] H$ auch folgern $a x H = x H$, da $a x = x a'$ ist fuer ein $a' [mm] \in [/mm] H$, und somit $a x H = x a' H = x H$ ist.

Spannend ist jedoch der Fall, wenn $H$ eben kein Normalteiler ist. Es ist [mm] $\ker(f)$ [/mm] immer ein Normalteiler, und immer eine Teilmenge von $H$.

Schau dir doch mal [mm] $\bigcap_{g \in G} g^{-1} [/mm] H g$ an; dies ist ein Normalteiler (warum?), der in $H$ enthalten ist (warum?). Und falls $H$ bereits Normalteiler ist, ist dies gleich $H$. Vielleicht ist dieser gerade der Kern von $f$?

LG Felix


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