Kern einer lin. Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Manabago |
| Aufgabe | Sei f: [mm] R^3 \to R^3 [/mm] eine lineare Abbildung:
[mm] f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = [mm] (x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3}, 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}, -x_{1} -2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3})
[/mm]
Bestimme Kern und Bild von f. |
Den Kern hab ich schon bestimmt, der ist meiner Meinung nach [mm] \{ t(-\bruch{1}{2}, 1, 1), t \in R \}. [/mm] Wäre das eurer Meinung nach richtig? Um das Bild zu bestimmen, brauch ich eure Hilfe. Ich hab 2 stunden daran herum probiert, und nur Blödsinn herausbekommen. Wäre für einen Ansatz sehr dankbar. Lg
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Hallo,
leider ist dein Kern falsch!
Mach doch mal die Probe und wende deine Abbildung auf einen Vektor aus deinem Kern an. Es kommt nicht der Nullvektor heraus!
Um das Bild zu bestimmen, kannst du einfach eine beliebige Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] nehmen und die Abbildung auf diese Basisvektoren anwenden. Aus den erhaltenen Vektoren wählst du dann diejenigen aus, die paarweise linear unabhängig sind und dabei zusammen die größtmögliche Menge bilden. (Wenn du bereits die Dimension des Kerns kennst, weißt du aber automatisch, wie groß die Basis des Bildes sein muss...)
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Stimmt hatte einen Angabefehler in meiner Berechnung. Für den Kern muss ich ja einfach die Koordinaten des Bildes gleich 0 setzten (da ja Kef(f)={f(v)=0}). Also hab ich folgendes GLS:
I: [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 0
II: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = 0
III: [mm] -x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 0
Also hab ich für die 2. Gl: [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{x_{2}}{2}. [/mm] Eingesetzt in die 1. und 3. krieg ich dann:
1.: [mm] x_{3} [/mm] = [mm] 3x_{2}, [/mm] Also ist der Kern: [mm] \{ t( -\bruch{1}{2}, 1, 3), t \in R \}. [/mm] Stimmt das so???
Für das Bild muss ich doch alle Vektoren (x,y,z) finden, die die obige Bedingung erfüllen, also:
I: [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = x
II: [mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] = y
III: [mm] -x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = z
Aber so komm ich auf nichts, wäre der Ansatz richtig?
Deiner Meinung nach nehm ich also zB (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Nach Anwendung von f bekomm ich dann also, folgende Vektoren:
(1,2,-1), (-1,1,-2), (2,0,2)
Deine weiteren Tipps kann ich aber nicht wirklich nachvollziehen, hoffe du kannst mir noch mal helfen...
Lg
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Hallo,
> 1.: [mm] x_{3} [/mm] = [mm] 3x_{2}, [/mm] Also ist der Kern: [mm] \{ t( -\bruch{1}{2}, 1, 3), t \in R \}. [/mm] Stimmt das so???
Nein! Mach doch bitte die Probe.
> Deiner Meinung nach nehm ich also zB (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Nach
> Anwendung von f bekomm ich dann also, folgende Vektoren:
> (1,2,-1), (-1,1,-2), (2,0,2)
Genau. Und nun prüfst du, wieviele von den dreien du in die Bildbasis aufnehmen kannst. Nimmst du alle drei, dann stellst du fest, dass sie linear abhängig sind, was ja der Definition einer Basis widerspricht. Also schau, ob du zwei davon auswählen kannst, die nicht linear abhängig sind. Dann bekommst du eine Basis für Bild(f).
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:17 Sa 25.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Sorry für dieses chaotische Lösung des GLS. Die lösung lautet natürlich: Ker(f)= [mm] \{t(1, -2, -\bruch{3}{2}), t \in R\}. [/mm]
Weiter zum Bild. 2 lin. unabhängige Basisvektoren für das Bild lauten also (1, 2, -1) und (-1, 1, -2). So heißt das jetzt quasi das mein Bild der [mm] R^2 [/mm] ist??? Die Dimension für den Kern ist aber 1, die für das Bild 2. Wie ist da der Zusammenhang? Vielleicht hast du noch mal schnell Zeit, wär nett.
Lg
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Hallo,
dann hat das mit dem Kern doch noch geklappt ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
> So heißt das jetzt quasi das mein Bild der [mm] $\IR^2$ [/mm] ist???
Das "quasi" ist hier schon angebracht. Nein, es ist nicht der [mm] $\IR^2$. [/mm] Es ist nur ein Vektorraum, der isomorph ist zum [mm] $\IR^2$.
[/mm]
> Die Dimension für den Kern ist aber 1, die für das Bild 2. Wie ist da der Zusammenhang?
Falls du das noch nicht kennst, lernst du das GARANTIERT noch. Eine sehr wichtige Beziehung drückt die Dimensionsformel für lineare Abbildungen aus:
[mm]\dim{}Kern(f) + \dim{}Bild(f) = \dim{}V[/mm]
für [mm] $f:V\rightarrow [/mm] W$ lineare Abbildung und $V$ endlichdimensional.
Gruß
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Ja, gottseidank. Vielen dank für deine Geduld. Und als Lösungsmenge hab ich dann einfach:
Im(f) = [mm] \{a(1,2,-1)+b(-1,1,-2), a, b \in R \}.? [/mm]
(Hoffe sehr, dass du mir noch ein letztes Mal antwortest ;))
Lg Manuel
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Hallo,
> Im(f) = [mm] \{a(1,2,-1)+b(-1,1,-2), a, b \in R \}.? [/mm]
Ja. Einen Tick schöner finde ich die Schreibweise
Im(f) = [mm] $\left\{\vec{x}\in\IR^3 \Bigg| \vec{x}=a\vektor{1\\2\\-1}+b\vektor{-1\\1\\-2}, a,b\in\IR\right\}$.
[/mm]
> (Hoffe sehr, dass du mir noch ein letztes Mal antwortest ;))
Gern. Für dieses Mal.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 26.11.2006 | | Autor: | Manabago |
Bin dir sehr dankbar für deine Hilfe. Jetzt hab ichs. Hoffe, du bist morgen auch noch da (der Berg von Aufgaben für Montag wird erst langsam kleiner :)). Gute nacht
Manuel
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