Kern Lösung richtig??? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Leute,
versuch schon länger durch suchen hier im Forum auf des Pudels Kern zu kommen. Bin mir da aber nicht sicher ob, das stimmt, was ich jetzt habe.
Aufgabe: Berechnen sie Kern und Rang der folgenden Matrizen von [mm] \IR^3 [/mm] nach [mm] \IR^3:
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}
[/mm]
Der Rang(maximale Anzahl lin. unab. Spaltenvektoren) ist hierbei 2.
Dann habe ich wie in der Mathebank beschrieben folgendes Gleichungssystem aufgestellt:
[m]v_1+2v_2+3v_3=0[/m]
[m]4v_1+5v_2+6v_3=0[/m]
[m]7v_1+8v_2+9v_3=0[/m]
bei mir komplett aufgelößt:
[m]v_1+2v_2+3v_3=0[/m]
[m]-3v_2-6v_3=0[/m]
[m]0=0[/m]
Soweit müsste alles stimmen oder?
Aber wie lese ich jetzt den Kern aus diesem Gleichungssystem ab? Es müsste wenn mich nicht alles täuscht ein eindimensionaler sein, da 3-2=1 (dim(raum)-dim(bild)=dim(kern)).
Ich schätze hier kann mir jemand schnell weiterhelfen.
Vielen Dank
Shaguar
P.S.: Wenn man vielleicht ein Bsp. in der Mathebank einfügt gäb es vielleicht nicht soviele Fragen. Ich acker mich durch viele Scripte und Einträge hier im Forum durch komme aber auf keine Grünen Zweig.
Gibts ne Seite mit Beispielen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Shaguar!
> Aufgabe: Berechnen sie Kern und Rang der folgenden Matrizen
> von [mm]\IR^3[/mm] nach [mm]\IR^3:
[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9}
[/mm]
Ah, die Telefonmatrix.  Ich nenne sie daher $T$.
> Der Rang(maximale Anzahl lin. unab. Spaltenvektoren) ist
> hierbei 2.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich wie in der Mathebank beschrieben folgendes
> Gleichungssystem aufgestellt:
>
> [m]v_1+2v_2+3v_3=0[/m]
> [m]4v_1+5v_2+6v_3=0[/m]
> [m]7v_1+8v_2+9v_3=0[/m]
> bei mir komplett aufgelößt:
>
> [m]v_1+2v_2+3v_3=0[/m]
> [m]-3v_2-6v_3=0[/m]
> [m]0=0[/m]
>
> Soweit müsste alles stimmen oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Aber wie lese ich jetzt den Kern aus diesem
> Gleichungssystem ab? Es müsste wenn mich nicht alles
> täuscht ein eindimensionaler sein, da 3-2=1
> (dim(raum)-dim(bild)=dim(kern)).
> Ich schätze hier kann mir jemand schnell weiterhelfen.
Selbstverständlich.
Du musst das Lineare Gleichungssystem
[m]v_1+2v_2+3v_3=0[/m]
[m]-3v_2-6v_3=0[/m]
[m]0=0[/m]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
einfach lösen. Es gibt einen Freiheitsgrad (zwei Gleichungen, die letzte können wir vergessen, mit drei Unbekannten), also setzen wir $v_3:=1$.
Dann folgt:
$-3v_2 = 6v_3 = 6$,
also:
$v_2=-2$.
Weiterhin folgt aus der ersten Gleichung:
$v_1= - 2v_2 - 3v_3 = -2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = 1$.
Wir haben also:
$Kern(T) = \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right \rangle$.
> P.S.: Wenn man vielleicht ein Bsp. in der Mathebank einfügt
> gäb es vielleicht nicht soviele Fragen. Ich acker mich
> durch viele Scripte und Einträge hier im Forum durch komme
> aber auf keine Grünen Zweig.
Okay, kannst du gerne einfügen, wenn du dich dort anmeldest. Du kannst dort aktiv mitarbeiten. Jeder kann das tun, es ist nicht nur unsere Aufgabe die Mathebank zu pflegen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Fr 26.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Danke Stefan,
So habs jetzt verstanden denke ich ist ja auch ziemlich einfach, wenn man das ganze mal mit Zahlen vor sich sieht. Das mit den Beispielen werde ich dann am Wochende gerne machen. Werde mir noch andere ausdenken sie dir aber vorher nochmal zur Kontrolle schicken 1 oder 2.
Aus deiner Antwort folgere ich:
-Wenn die [mm] dim(kern)\not=0 [/mm] setze ich die [mm] v_i [/mm] , die bei dem Lösungssystem 0 werden 1(meistens wird das die pratkischste Lösung sein) und rechne dann den Kern aus.
Der 2. Teil der Aufgabe war dann:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1}
[/mm]
aufgelößtes Gleichungssystem:
[m]v_1+v_2+v_3=0[/m]
[m]-v_2-2v_2=0[/m]
0=0
Rang=2
[mm] v_3:=1
[/mm]
dann [mm] v_2=-2 [/mm] und [mm] v_1=-3
[/mm]
und der Kern
[mm]Kern(M) = \left\langle \begin{pmatrix}-3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right \rangle[/mm]
Wenn das jetzt alles stimmt höre ich heute zufrieden mit Mathe auf :)
Gruß Shaguar
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Schönen guten Tag! Hab ein ähnliches Problem und ich häng auch beim Kern fest.
Also: Gegeben sei eine lineare Abbildung f. Bestimme die Matrixdarstellung
bezüglich der angegebenen Basis. Bestimme auch den Rang der gewonnen
Matrix A und den Kern von A. Überprüfen sie das Ergebnis mit der
Dimensionsformel für lineare Abbildungen.
(a) kanonische Bezugsbasis:
f: R³ -> R²
(x,y,z,) (2x -y, 3z - x - y)
Die Matrix, die ich rausbekomme ist:
( 2 -1 0
-1 -1 3 )
Hoffe das stimmt, und der Rang ist 2, aber wie bekomme ich nun den Kern raus, ich kann ja kein [mm] v_1 [/mm] usw. direkt bestimmen, oder? Danke euch!
MfG Simon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:12 So 28.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Simon,
dein Ergebnis ist leider nicht ganz richtig. Du suchst eine Matrix, die aus 3-dimensionalen Vektoren 2-dimensionale macht , die die Form haben [mm] \vektor{2x-y \\ 3z-x-y \\ 0} [/mm] oder? Deine Matrix kann man nicht mit einem 3-dimensionalen Vektor multiplizieren da er nur 2 Zeilen hat. Also muss eine 3. Zeile her, und da wir wissen, dass ein Vektor im [mm] \IR^2 [/mm] kein "z" hat ist diese Zeile einfach (0 0 0). Also sieht die Matrix dann so aus:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Wenn du jetzt das Verfahren aus der Mathebank anwendest kriegst du folgendes LGS:
[m]2v_1-v_2=0[/m]
[m]-v_1-v_2+3v_3=0[/m]
[m]0=0[/m]
In Stufenform fertig aufgelößt:
[m]-v_1-v_2+3v_3=0[/m]
[m]-3v_2+6v_3=0[/m]
0=0
> Hoffe das stimmt, und der Rang ist 2, aber wie bekomme ich
Stimmt kann man jetzt ablesen.
> nun den Kern raus, ich kann ja kein [mm]v_1[/mm] usw. direkt
> bestimmen, oder?
Doch so wie ich es verstanden habe schon, wenn du meinen letzten Beitrag nochmal liest habe ich es dort als Folgerung hingeschrieben und mir wurde es als richtig bestätigt.
Also setzen wir hier [mm] v_3=1 \Rightarrow v_2=2 \Rightarrow v_1=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Kern(M)= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Rat mal was rauskommt, wenn du denn Vektor mit der Matrix multiplizierst.
So da die Überprüfung ein Klacks ist schreib ich sie mal auch noch schnell hin.
Dimensionsformel:
dim(Raum)=dim(Bild)+dim(Kern)
3 = 2 + 1
War nur ein kleiner Fehler und ich denke damit hast du es auch verstanden.
Danke euch!
> MfG Simon
Gern geschehen Grüße zurück.
P.S.: Ein kleiner Gedankengang zu dem setzen von [mm] v_3=1. [/mm] Hab mir bei der Matrix grad überlegt, dass man ja als z alles einsetzen kann und es 0 wird. Wenn du statt 1 etwas beliebig anderes einsetzt kriegst du ein Vielfaches von dem Kernvektor raus als [mm] \lambda*Kernvektor. [/mm] Also kann man dies wohl so machen. Dies ist mir bei meiner Matrix nicht aufgefallen. Ich denke mal die ist ein schönes Beispiel und wird auch demnächst in der Mathebank zu finden sein, wenn sie mal nich so überlastet ist.
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Abend! OK, ist soweit klar, aber wenn ich eine Abbildung von R² -> R³ hab, muss ich doch als Darstellungsmatrix eine 3x2 Matrix rausbekommen, oder etwa nicht? Danke nochmal! MfG Simon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:50 So 28.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
ich hoffe du meinst 3Zeilen und 2Spalten, dann ist es richtig. Die Antwort geht ganz einfach daraus hervor, dass du später einen Vektor mit 3Zeilen haben willst und einen mit 2 zur Verfügung hast. Schau dir nochmal die Matrizenmultiplikation genau an, dann wirst du sehen, dass es anders gar nicht gehen würde. Aber ich denke du hast es doch raus.
Schönen Abend noch
Shaguar
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