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| Aufgabe | | Gegeben sei die Matrix A= [mm] \pmat{ -2 & 2 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 2 & -1} [/mm] und [mm] \vec{b}= [/mm] Summe der ersten drei Spalten von A. Bestimmen Sie eine Basis für Kern(A) und Bild(A), den Rang(A) und lösen Sie [mm] A\vec{x}=\vec{b}. [/mm] |
Hallo zusammen!
Also wie man den Kern, das Bild und den Rang bestimmt weiß ich und wie man [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] ansetzt natürlich auch. Mein Problem bei der Aufgabe besteht darin die Matrix zu lösen. Für den Kern z.B. brauch man ja die Lösung des homogenen Gleichhungssystem. Und beim zweiten Teil [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] , ist es ja inhomogen. Ich hab es mit dem Gaußschen Eleminationsverfahren versucht bin aber nicht auf meine Stufenform gekommen. Ich habe es mal in ein Rechenprogramm eingegeben und der Pc hat das in über 20 Schritten berechnet, wo man so einfdach nicht draufkommen würde. Jetzt frage ich mich, ob es da irgendeinen Trick gibt diese Matrix in ein paar Schrtten zu lösen, denn sonst bin ich ziemlich ratlos.
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> Gegeben sei die Matrix A= [mm]\pmat{ -2 & 2 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 2 & -1}[/mm]
> und [mm]\vec{b}=[/mm] Summe der ersten drei Spalten von A. Bestimmen
> Sie eine Basis für Kern(A) und Bild(A), den Rang(A) und
> lösen Sie [mm]A\vec{x}=\vec{b}.[/mm]
> Hallo zusammen!
Hallo,
Dein Problem scheint also zu sein, auf die ZSF zu kommen.
Daß dazu ein paar Schritte nötig sind, ist ja klar, aber die rechnungen als solche sind ja nicht so schwierig.
Für Handrechneung würde ich mir erstmal eine erste zeile mit einer 1 am Anfang nehmen. (Zeilen vertauschen.)
[mm] \pmat{ -2 & 2 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 1 & -4 & -2 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 2 & -1}-->\pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & 0 & -4 & 1 \\ 1 & -4 & -2 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 2 & -1} [/mm] -->
Nun erzeuge in den Zeilen 2-5 an erster Stelle eine 0, indem Du passende Vielfache der 1.Zeile addierst.
Was erhältst Du?
Nun mach Dir eine gute 2. Zeile und erzeuge in der 2. Spalte in Zeile 3-5 Nullen. Und immer so weiter.
Zeig' mal, was Du machst.
Gruß v. Angela
EDIT: Damit Du nicht doppelte Mühe hast, mach' das gleich mit der erweiterten Koeffizientenmatrix, also mit [mm] \vec{b} [/mm] rechts dran.
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> Also wie man den Kern, das Bild und den Rang bestimmt weiß
> ich und wie man [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm] ansetzt natürlich auch.
> Mein Problem bei der Aufgabe besteht darin die Matrix zu
> lösen. Für den Kern z.B. brauch man ja die Lösung des
> homogenen Gleichhungssystem. Und beim zweiten Teil
> [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm] , ist es ja inhomogen. Ich hab es mit dem
> Gaußschen Eleminationsverfahren versucht bin aber nicht
> auf meine Stufenform gekommen. Ich habe es mal in ein
> Rechenprogramm eingegeben und der Pc hat das in über 20
> Schritten berechnet, wo man so einfdach nicht draufkommen
> würde. Jetzt frage ich mich, ob es da irgendeinen Trick
> gibt diese Matrix in ein paar Schrtten zu lösen, denn
> sonst bin ich ziemlich ratlos.
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Also diese vorgehensweiße ist schonmal besser als meine :D
> Nun erzeuge in den Zeilen 2-5 an erster Stelle eine 0,
> indem Du passende Vielfache der 1.Zeile addierst.
>
> Was erhältst Du?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -1 }
[/mm]
> Nun mach Dir eine gute 2. Zeile und erzeuge in der 2.
> Spalte in Zeile 3-5 Nullen. Und immer so weiter.
>
> Zeig' mal, was Du machst.
Nunja, jetzt habe ich Z3 mit Z2 vertauscht, sodass ich wieder eine 1 am anfang stehen habe und dann Z3-Z5 mit einem vielfachen von Z2 addiert bzw subrathiert und folgendes rausbekommen:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -11 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 & -2 }
[/mm]
Aber nun sind es ja alles ungerade Zahlen von Z3-Z5, die machen mir es ja schwer eine neue geeignte Zeile zu finden und mit jeweils den übrigen zu addieren... ( ich hoffe ich habe mich nicht verrechnet) Also werde ich wohl um Brüche nicht herrumkommen?
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> Also diese vorgehensweiße ist schonmal besser als meine
> :D
>
> > Nun erzeuge in den Zeilen 2-5 an erster Stelle eine 0,
> > indem Du passende Vielfache der 1.Zeile addierst.
> >
> > Was erhältst Du?
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -3 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & -1 }[/mm]
>
> > Nun mach Dir eine gute 2. Zeile und erzeuge in der 2.
> > Spalte in Zeile 3-5 Nullen. Und immer so weiter.
> >
> > Zeig' mal, was Du machst.
>
> Nunja, jetzt habe ich Z3 mit Z2 vertauscht, sodass ich
> wieder eine 1 am anfang stehen habe und dann Z3-Z5 mit
> einem vielfachen von Z2 addiert bzw subrathiert und
> folgendes rausbekommen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -11 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 & -2 }[/mm]
>
Hallo,
nachgerechnet habe ich nichts. Das Prinzip jedenfalls hast Du verstanden.
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> Aber nun sind es ja alles ungerade Zahlen von Z3-Z5, die
> machen mir es ja schwer eine neue geeignte Zeile zu finden
> und mit jeweils den übrigen zu addieren... ( ich hoffe ich
> habe mich nicht verrechnet) Also werde ich wohl um Brüche
> nicht herrumkommen?
Naja, ein Bruch ist nicht das Schlimmste, was einem in der Mathematik begegnen kann.
Du kannst aber noch ein Weilchen ohne Brüche weitermachen, wenn Du mit Vielfachen arbeitest. Z.B. so:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 7 & -3 & -4 \\ 0 & 0 & -11 & 1 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & -2 & -2 }-->\pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 7*11 & -3*11 & -4*11 \\ 0 & 0 & -11*7 & 1*7 & 6*7 \\ 0 & 0 & 3 & -2 & -2 }
[/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 7 *3& -3*3 & -4 *3 \\ 0 & 0 & 0 & .. & ...\\ 0 & 0 & 3*7 & -2*7 & -2*7 }
[/mm]
usw.
So braucht man erst ganz am Ende Brüche zu schreiben.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:34 Mi 06.01.2010 | | Autor: | EdwinMoses |
okay vielen dank :) mit dem Prinzip ist es echt viel einfacher
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