Kern, Bild linearer Abbildunge < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Palonina |
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\begin" und "\end" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung
F: \IR^5 \mapsto \IR^4, F: $ \pmat{x_1\\ \vdots \\x_5 } $ = $\begin{pmatrix}1&0&1&1&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 1&0&1&0&1 \\ 0&1&0&0&0 \end {pmatrix}$ $ \pmat{x_1\\ \vdots \\x_5 } $
Bestimmen Sie eine Basis von ker(F), einen Komplementärraum von ker(F) und eine Basis von im(F).
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Hallo zusammen,
ich habe Probleme mit dieser Aufgabe. Den ersten Teil habe ich (hoffentlich richtig) gelöst. Dazu habe ich die Abbildungsmatrix in Zeilenstufenform gebracht und dabei die folgende Matrix erhalten:
$ \begin{pmatrix}1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \end {pmatrix}$
Wenn ich dies als Gleichung schreibe, erhalte ich
x_1=0, x_2=0, x_3=-x_5, x_4=0, x_5=x_5 und somit als Basis für den Kern
$ \pmat{0\\0\\-1\\0\\1 }$
Ist das so richtig?
Wie bestimme ich jetzt den Komplementärraum und die Basis des Bildes? Ich weiß nur, dass beide die Dimension 4 haben müssen.
Vielen Dank schon einmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben sei die lineare Abbildung
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> F: [mm]\IR^5 \mapsto \IR^4,[/mm] F: [mm]\pmat{x_1\\ \vdots \\x_5 }[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&1&1&1 \\ 0&1&1&1&1 \\ 1&0&1&0&1 \\ 0&1&0&0&0 \end {pmatrix}[/mm]
> [mm]\pmat{x_1\\ \vdots \\x_5 }[/mm]
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> Bestimmen Sie eine Basis von ker(F), einen Komplementärraum
> von ker(F) und eine Basis von im(F).
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> Hallo zusammen,
>
> ich habe Probleme mit dieser Aufgabe. Den ersten Teil habe
> ich (hoffentlich richtig) gelöst. Dazu habe ich die
> Abbildungsmatrix in Zeilenstufenform gebracht und dabei die
> folgende Matrix erhalten:
>
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&0&0&0 \\ 0&1&0&0&0 \\ 0&0&1&0&1 \\ 0&0&0&1&0 \end {pmatrix}[/mm]
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> Wenn ich dies als Gleichung schreibe, erhalte ich
> [mm]x_1=0, x_2=0, x_3=-x_5, x_4=0, x_5=x_5[/mm] und somit als Basis
> für den Kern
> [mm]\pmat{0\\0\\-1\\0\\1 }[/mm]
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> Ist das so richtig?
Hallo,
ja, das ist richtig.
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> Wie bestimme ich jetzt den Komplementärraum und die Basis
> des Bildes? Ich weiß nur, dass beide die Dimension 4 haben
> müssen.
Du weißt jetzt, daß [mm] Kernf=<\pmat{0\\0\\-1\\0\\1 }>.
[/mm]
U ist ein Komplementärraum zu Kernf, wenn U folgende Eigenschaften hat:
Im Schnitt von U und Kernf liegt nur der Nullvektor, und U+kernf [mm] =\IR^5.
[/mm]
(Direkte Summe, falls Ihr das hattet.)
Damit steht der Plan: ergänze [mm] \pmat{0\\0\\-1\\0\\1 } [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^5, [/mm] die ergänzenden Vektoren spannen den Komplementärraum auf.
Das Bild von f wird aufgespannt von den Spalten der Matrix, ein Erzeugendensystem hast Du also bereits. Wenn Du hier eine maximale linear unabhängige teilmenge abfischst, hast Du die gesuchte Basis.
Du kannst Dich dafür Deiner Zeilenstufenform bedienen:
[mm] \begin{pmatrix}\red{1}&0&0&0&0 \\ 0&\red{1}&0&0&0 \\ 0&0&\red{1}&0&1 \\ 0&0&0&\red{1}&0 \end{pmatrix}
[/mm]
Die führenden Elemente der Zeilen stehen in der 1., 2. 3. und 4.Spalte.
Daraus weiß man, daß die 1., 2. 3. und 4. Spalte der Startmatrix eine Basis des Bildes bilden.
Gruß v. Angela
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> Vielen Dank schon einmal im Voraus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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