Kern, Bild, Isomorphismus < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X ein Banachraum und P [mm] \in [/mm] L(X) mit [mm] P^2=P. [/mm] Zeigen sie:
a) Kern N(P) und Bild R(P) sind abgeschlossene Unterräume mit N(P) [mm] \cap [/mm] R(P)={0} und N(P)+R(P)=X
b) Die Abbildung (x,y)( [mm] \in [/mm] N(P) x R(P)) [mm] \mapsto [/mm] x+y [mm] \in [/mm] X ist ein Isomorphismus |
Hi!
Mit Aufgabenteil a) bin ich soweit ganz gut zurecht gekommen, hab aber ein paar Unsicherheiten:
1) Genügt es für den "abgeschlossenen Unterraum" (z.B. für N(P)) zu zeigen 0 [mm] \in [/mm] N(P) und u,v [mm] \in [/mm] N(P) [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] u+v [mm] \in [/mm] N(P) [mm] \forall \lambda \in [/mm] X? Damit wäre N(P) ja ein Unterraum und abgeschlossen bzgl + und *, oder?
2) Bei N(P) [mm] \cap [/mm] R(P) = {0} bin ich mir mit der formellen Schreibweise nicht ganz sicher. Ist es so korrekt:
N(P) [mm] \cap [/mm] R(P) = {x [mm] \in [/mm] X: x [mm] \in [/mm] N(P) und x [mm] \in [/mm] R(P)}
= {x [mm] \in [/mm] X: P(x) = 0 und (P(x): x [mm] \in [/mm] X)}
= {x [mm] \in [/mm] X: P(x) = 0}
= {0} (weil P linear)
Die erste Zeile ist ja klar, aber mit der 2. und 3. bin ich nicht ganz sicher. Fehlt da was?
Mit Aufgabenteil b) hakt es gleich zu Beginn:
Ich soll zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist, also in diesem Fall eine bijektive lineare Abbildung, richtig?
Ich hänge aber schon bei der Injektivität:
Ich definiere mir (der Übersichtlichkeit halber) f: N(P) x R(P) [mm] \rightarrow [/mm] X, (x,y) [mm] \mapsto [/mm] x+y. Ist das gleiche wie in der Aufgabe, richtig?
Nun will ich zeigen [mm] f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \Rightarrow (x_1,y_1)=(x_2,y_2).
[/mm]
Also: [mm] f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)
[/mm]
[mm] \gdw f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)=0
[/mm]
[mm] \gdw x_1+y_1-x_2-y_2=0
[/mm]
Tja, und wie komme ich nun sinnvoll weiter? Oder fange ich das ganze schon völlig falsch an? Wenn ja, was wäre der richtige Weg?
Danke schonmal für jeden Hinweis!
Gruß,
die Prinzessin
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Hi!
Ich hab nun weiter an Aufgabenteil b) gearbeitet und würde mich über Feedback freuen.
1) Bei der Injektivität bin ich mir weiterhin unsicher, bin da aber nun anders rangegangen:
Es gilt ja: f (s.o.) injektiv [mm] \gdw [/mm] N(f) = {0}
N(f) = {x [mm] \in [/mm] N(P), y [mm] \in [/mm] R(P): x+y=0}
= {x [mm] \in [/mm] N(P), y [mm] \in [/mm] R(P): x=-y}
= {0}, wegen Linearität von P
Stimmt das so, oder fehlt etwas?
2) Surjektivität ist einfach, denke ich:
Es gilt: f surjektiv [mm] \gdw [/mm] R(f)=X
R(f) = {x+y: x [mm] \in [/mm] N(P), y [mm] \in [/mm] R(P)}
= N(P) + R(P)
= X (siehe a))
Korrekt?
3) Linearität:
f( [mm] \lambda x_1+x_2, \lambda y_1+y_2) [/mm] = [mm] \lambda x_1+x_2 [/mm] + [mm] \lambda y_1+y_2
[/mm]
= [mm] \lambda x_1+ \lambda y_1+x_2 +y_2
[/mm]
= [mm] \lambda (x_1+y_1)+x_2 +y_2
[/mm]
= [mm] \lambda f(x_1,y_1)+f(x_2 ,y_2)
[/mm]
Ist das so richtig? Oder muss man das anders anfangen?
Ich wäre vor allem dankbar für Feedback für die Aufgabenteile, die mit den Kernen zu tun haben bei a) und b), da bin ich mir noch recht unsicher...
Gruß,
die Prinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 Mo 25.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi!
>
> Ich hab nun weiter an Aufgabenteil b) gearbeitet und würde
> mich über Feedback freuen.
>
> 1) Bei der Injektivität bin ich mir weiterhin unsicher,
> bin da aber nun anders rangegangen:
> Es gilt ja: f (s.o.) injektiv [mm]\gdw N(f) = \{0\}[/mm]
Da hast du die Linearität von f vorausgesetzt.
> [mm]N(f) = \{x \in N(P), y \in R(P): x+y=0\} [/mm]
Nicht ganz richtig geschrieben, denn $N(f)$ muss eine Teilmenge von [mm] $N(P)\times [/mm] R(P)$ sein:
[mm] N(f) = \{(x,y): x \in N(P), y \in R(P): x+y=0\} [/mm]
> [mm] = \{x \in N(P), y \in R(P): x=-y\} [/mm]
[mm] = \{(x,y): x \in N(P), y \in R(P): x=-y\} [/mm]
> [mm] = \{0\}[/mm], wegen Linearität von P
Nein, wegen $N(P) [mm] \cap [/mm] R(P) = [mm] \{0\}$, [/mm] denn $x [mm] \in [/mm] N(P)$ und $x=-y$ impliziert [mm] $y\in [/mm] N(P)$. Daher ist $y [mm] \in [/mm] N(P)$ und [mm] $y\in [/mm] R(P)$, also [mm] $y\in N(P)\cap [/mm] R(P) = [mm] \{0\}$.
[/mm]
> Stimmt das so, oder fehlt etwas?
>
> 2) Surjektivität ist einfach, denke ich:
> Es gilt: f surjektiv [mm]\gdw R(f)=X[/mm]
> [mm]R(f) = \{x+y: x \in N(P), y \in R(P)\}[/mm]
> = N(P) + R(P)
> = X (siehe a))
> Korrekt?
ok.
> 3) Linearität:
> f( [mm]\lambda x_1+x_2, \lambda y_1+y_2)[/mm] = [mm]\lambda x_1+x_2[/mm] +
> [mm]\lambda y_1+y_2[/mm]
> = [mm]\lambda x_1+ \lambda y_1+x_2 +y_2[/mm]
>
> = [mm]\lambda (x_1+y_1)+x_2 +y_2[/mm]
>
> = [mm]\lambda f(x_1,y_1)+f(x_2 ,y_2)[/mm]
> Ist das so richtig?
> Oder muss man das anders anfangen?
Zunächst mal ist [mm] $N(P)\times [/mm] R(P)$ ein kartesisches Produkt von Räumen. Sind denn für [mm] $(x_1,y_1),(x_2,y_2)\in N(P)\times [/mm] R(P)$ und [mm] $\lambda \in \IR$ [/mm] die Operationen
[mm] (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) [/mm], [mm] \lambda (x_1,y_1) = (\lambda x_1, \lambda y_1) [/mm]
definiert? Oder musst du sie erst so definieren?
Viele Grüße
Rainer
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Hi!
Danke auch für diese Antwort!
> > Es gilt ja: f (s.o.) injektiv [mm]\gdw N(f) = \{0\}[/mm]
>
> Da hast du die Linearität von f vorausgesetzt.
Also zeige ich einfach zuerst, dass f linear ist?!
> > [mm]N(f) = \{x \in N(P), y \in R(P): x+y=0\}[/mm]
>
> Nicht ganz richtig geschrieben, denn [mm]N(f)[/mm] muss eine
> Teilmenge von [mm]N(P)\times R(P)[/mm] sein:
>
> [mm]N(f) = \{(x,y): x \in N(P), y \in R(P): x+y=0\}[/mm]
Achja, genau, danke!
> [mm]= \{(x,y): x \in N(P), y \in R(P): x=-y\}[/mm]
> > [mm]= \{0\}[/mm],
> wegen Linearität von P
>
> Nein, wegen [mm]N(P) \cap R(P) = \{0\}[/mm], denn [mm]x \in N(P)[/mm] und
> [mm]x=-y[/mm] impliziert [mm]y\in N(P)[/mm]. Daher ist [mm]y \in N(P)[/mm] und [mm]y\in R(P)[/mm],
> also [mm]y\in N(P)\cap R(P) = \{0\}[/mm].
Ah! Das leuchtet ein. Ich bin gar nicht darauf gekommen y [mm] \in [/mm] N(P) zu folgern.
> > 3) Linearität:
> Zunächst mal ist [mm]N(P)\times R(P)[/mm] ein kartesisches Produkt
> von Räumen. Sind denn für [mm](x_1,y_1),(x_2,y_2)\in N(P)\times R(P)[/mm]
> und [mm]\lambda \in \IR[/mm] die Operationen
>
> [mm](x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) [/mm], [mm]\lambda (x_1,y_1) = (\lambda x_1, \lambda y_1)[/mm]
>
> definiert? Oder musst du sie erst so definieren?
Ergibt sich das nicht durch die Abbildung? Der ist es ja egal, ob da nun [mm](x,y) [/mm] oder eben [mm](x_1+x_2,y_1+y_2) [/mm] steht und dann rechnet man mit den einzelnen Werten in X, was ja auch kein Problem ist. Also:
[mm]f(x_1+x_2,y_1+y_2) = x_1+x_2+y_1+y_2[/mm]
[mm]= x_1+y_1+x_2+y_2[/mm]
[mm]= f(x_1+y_1)+f(x_2+y_2)[/mm]
Oder?
Allerdings, ich sehe grad, [mm](x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2) [/mm] kann ich dann nur folgern, wenn ich Injektivität hab, d.h. ich muss die Injektivität oben ohne die Linearität folgern *grübel*
Oder komme ich an die Gültigkeit dieser Rechenregeln auch ohne Injektivität?
Gruß,
die Prinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Di 26.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ergibt sich das nicht durch die Abbildung? Der ist es ja
> egal, ob da nun [mm](x,y)[/mm] oder eben [mm](x_1+x_2,y_1+y_2)[/mm] steht und
> dann rechnet man mit den einzelnen Werten in X, was ja auch
> kein Problem ist. Also:
> [mm]f(x_1+x_2,y_1+y_2) = x_1+x_2+y_1+y_2[/mm]
> [mm]= x_1+y_1+x_2+y_2[/mm]
>
> [mm]= f(x_1+y_1)+f(x_2+y_2)[/mm]
> Oder?
> Allerdings, ich sehe grad, [mm](x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2,y_1+y_2)[/mm]
> kann ich dann nur folgern, wenn ich Injektivität hab, d.h.
> ich muss die Injektivität oben ohne die Linearität
> folgern *grübel*
> Oder komme ich an die Gültigkeit dieser Rechenregeln auch
> ohne Injektivität?
Ich würde mit der Inhjektivität anfangen. Du hattest in einem anderen Post:
Zu zeigen: $f((x1,y1)) = [mm] f((x_2,y_2)) \implies (x_1,y_1) [/mm] = [mm] (x_2,y_2) [/mm] $.
$f((x1,y1)) = [mm] f((x_2,y_2)) \gdw [/mm] f((x1,y1)) - [mm] f((x_2,y_2)) [/mm] = 0 $
$ [mm] \gdw x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] - [mm] x_2 -y_2 [/mm] = 0$
Jetzt wende $P$ an: da [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] N(P)$ und $P$ linear ist
[mm] 0= P(x_1 + y_1 - x_2 -y_2 ) = P(x_1 -x_2) + P(y_1-y_2) = P(y_1-y_2) [/mm]
Also ist [mm] $y_1-y_2 \in [/mm] N(P)$, und da wieder [mm] $y_1,y_2 \in [/mm] R(P)$ und damit auch [mm] $y_1-y_2 \in [/mm] R(P)$, gilt
[mm] $y_1-y_2 [/mm] = 0$, und damit auch [mm] $x_1-x_2 [/mm] = 0$.
Also ist $f$ injektiv.
Viele Grüße
Rainer
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Danke noch für den Hinweis! So hab ich es nach einigem Tüfteln dann auch gemacht.
Gruß,
die Prinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mo 25.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei X ein Banachraum und P [mm]\in[/mm] L(X) mit [mm]P^2=P.[/mm] Zeigen sie:
> a) Kern N(P) und Bild R(P) sind abgeschlossene Unterräume
> mit N(P) [mm]\cap[/mm] R(P)={0} und N(P)+R(P)=X
> b) Die Abbildung (x,y)( [mm]\in[/mm] N(P) x R(P)) [mm]\mapsto[/mm] x+y [mm]\in[/mm] X
> ist ein Isomorphismus
> Hi!
>
> Mit Aufgabenteil a) bin ich soweit ganz gut zurecht
> gekommen, hab aber ein paar Unsicherheiten:
> 1) Genügt es für den "abgeschlossenen Unterraum" (z.B.
> für N(P)) zu zeigen [mm]0 \in N(P)[/mm] und
> [mm]u,v \in N(P) \Rightarrow \lambda u+v \in N(P) \forall \lambda \in X[/mm]?
> Damit wäre N(P) ja ein Unterraum und abgeschlossen bzgl +
> und *, oder?
Das ist die Eigenschaft "Unterraum". (Du solltest die Bedingungen trennen:
a) $0 [mm] \in [/mm] N(P)$, b) $u,v [mm] \in [/mm] N(P) [mm] \implies [/mm] u+v [mm] \in [/mm] N(P)$, c) [mm] $u\in [/mm] N(P) [mm] \implies \lambda u\in [/mm] N(P) [mm] \forall \lambda\in\IR$.
[/mm]
Meinem Verständnis nach ist "abgeschlossen" hier im mengentheoretischen Sinn zu verstehen, d.h. für jede Folge von Elementen aus N(P), die in X konvergiert, liegt auch der Grenzwert in N(P) (ebenso für R(P)).
> 2) Bei [mm]N(P) \cap R(P) = \{0\}[/mm] bin ich mir mit der formellen
> Schreibweise nicht ganz sicher. Ist es so korrekt:
> [mm] N(P) \cap R(P) = \{x \in X: x \in N(P) \text{ und } x \in R(P)\}[/mm]
> = [mm]\{x \in X: P(x) = 0 und (P(x): x \in X)\} [/mm]
Ich nehme an, du meinst hier: [mm]\{x \in X: P(x) = 0 \text{ und } \exists y \in X: P(y) = x \} [/mm]
> [mm]= \{x \in X: P(x) = 0\}[/mm]
> [mm]= \{0\}[/mm] (weil P linear)
Nein, weil [mm] $P^2=P$. [/mm] Denn aus $P(y) = x$ folgt $0=P(x) = P(P(y)) = [mm] P^2(y) [/mm] = P(y)$. Also ist $x=P(y)=0 $.
> Mit Aufgabenteil b) hakt es gleich zu Beginn:
> Ich soll zeigen, dass die Abbildung ein Isomorphismus ist,
> also in diesem Fall eine bijektive lineare Abbildung,
> richtig?
> Ich hänge aber schon bei der Injektivität:
> Ich definiere mir (der Übersichtlichkeit halber) [mm]f: N(P) \times R(P) \rightarrow X[/mm], [mm](x,y) \mapsto x+y[/mm]. Ist das gleiche
> wie in der Aufgabe, richtig?
Ja.
> Nun will ich zeigen [mm]f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2) \Rightarrow (x_1,y_1)=(x_2,y_2).[/mm]
>
> Also: [mm]f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)[/mm]
> [mm]\gdw f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)=0[/mm]
> [mm]\gdw x_1+y_1-x_2-y_2=0[/mm]
> Tja,
> und wie komme ich nun sinnvoll weiter? Oder fange ich das
> ganze schon völlig falsch an? Wenn ja, was wäre der
> richtige Weg?
Wende P auf die letzte Gleichung an und bedenke, dass [mm] $x_1,x_2 \in [/mm] N(P) [mm] \implies x_1-x_2\in [/mm] N(P)$, [mm] $y_1,y_2\in [/mm] R(P) [mm] \implies y_1-y_2\in [/mm] R(P)$ gilt, da es sich um Unterräume handelt.
Viele Grüße
Rainer
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Hi!
Vielen Dank schonmal für deine Antwort!
> Meinem Verständnis nach ist "abgeschlossen" hier im
> mengentheoretischen Sinn zu verstehen, d.h. für jede Folge
> von Elementen aus N(P), die in X konvergiert, liegt auch
> der Grenzwert in N(P) (ebenso für R(P)).
Hast du evtl einen Tipp für mich? Ich tue mich mit Folgen/Grenzwerten immer schwer.
X ist ja vollständig, das kann ich bestimmt für R(P) nutzen. Sind lineare Abbildungen von konv. Folgen auch konv. Folgen? *grübel*
Und N(P) besteht ja sowieso nur aus einzelnen Punkten, die auf 0 abgebildet werden. Evtl sogar nur aus der 0?! *grübel*
> > = [mm]\{x \in X: P(x) = 0 und (P(x): x \in X)\}[/mm]
>
> Ich nehme an, du meinst hier: [mm]\{x \in X: P(x) = 0 \text{ und } \exists y \in X: P(y) = x \}[/mm]
Danke, so meinte ich das, ich hatte nur vergessen, wie man es korrekt aufschreibt.
> [mm]= \{0\}[/mm] (weil P linear)
>
> Nein, weil [mm]P^2=P[/mm]. Denn aus [mm]P(y) = x[/mm] folgt [mm]0=P(x) = P(P(y)) = P^2(y) = P(y)[/mm].
> Also ist [mm]x=P(y)=0 [/mm].
Ah, ja, klar. Danke!
Gruß,
die Prinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> Vielen Dank schonmal für deine Antwort!
>
> > Meinem Verständnis nach ist "abgeschlossen" hier im
> > mengentheoretischen Sinn zu verstehen, d.h. für jede Folge
> > von Elementen aus N(P), die in X konvergiert, liegt auch
> > der Grenzwert in N(P) (ebenso für R(P)).
> Hast du evtl einen Tipp für mich? Ich tue mich mit
> Folgen/Grenzwerten immer schwer.
Das ist aber schlecht, wenn man Funktionalanalysis treibt ....
Es ist N(P) = {x [mm] \in [/mm] X : Px=0}
Nun nimm mal eine konvergente Folge [mm] (x_n) [/mm] aus N(P) her . Sei [mm] x_0 [/mm] ihr Limes.
Also [mm] x_n \to x_0. [/mm] P ist stetig, also [mm] Px_n \to Px_0. [/mm] Weil alle [mm] x_n \in [/mm] N(P) sind, sit [mm] Px_n [/mm] = 0 für jedes n. Somit: [mm] Px_0 [/mm] =0, also [mm] x_0 \in [/mm] N(P)
N(P) ist somit abgeschlossen.
So, nun zeig Du mal, dass R(P) abgeschlossen ist. Beachte: R(P)= {x [mm] \in [/mm] X: Px=x }
FRED
> X ist ja vollständig, das kann ich bestimmt für R(P)
> nutzen. Sind lineare Abbildungen von konv. Folgen auch
> konv. Folgen? *grübel*
> Und N(P) besteht ja sowieso nur aus einzelnen Punkten, die
> auf 0 abgebildet werden. Evtl sogar nur aus der 0?!
> *grübel*
>
> > > = [mm]\{x \in X: P(x) = 0 und (P(x): x \in X)\}[/mm]
>
> >
> > Ich nehme an, du meinst hier: [mm]\{x \in X: P(x) = 0 \text{ und } \exists y \in X: P(y) = x \}[/mm]
>
> Danke, so meinte ich das, ich hatte nur vergessen, wie man
> es korrekt aufschreibt.
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> > [mm]= \{0\}[/mm] (weil P linear)
> >
> > Nein, weil [mm]P^2=P[/mm]. Denn aus [mm]P(y) = x[/mm] folgt [mm]0=P(x) = P(P(y)) = P^2(y) = P(y)[/mm].
> > Also ist [mm]x=P(y)=0 [/mm].
> Ah, ja, klar. Danke!
>
> Gruß,
> die Prinzessin
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Hi!
> > Hast du evtl einen Tipp für mich? Ich tue mich mit
> > Folgen/Grenzwerten immer schwer.
> Das ist aber schlecht, wenn man Funktionalanalysis treibt
Dass es mir schwerfällt bedeutet ja nicht, dass ich es gar nicht kann...
> Es ist N(P) = {x [mm] \in [/mm] X : Px=0}
>
> Nun nimm mal eine konvergente Folge [mm](x_n)[/mm] aus N(P) her .
> Sei [mm]x_0[/mm] ihr Limes.
>
> Also [mm]x_n \to x_0.[/mm] P ist stetig, also [mm]Px_n \to Px_0.[/mm] Weil
> alle [mm]x_n \in[/mm] N(P) sind, sit [mm]Px_n[/mm] = 0 für jedes n. Somit:
> [mm]Px_0[/mm] =0, also [mm] x_0 \in [/mm] N(P)
>
> N(P) ist somit abgeschlossen.
Da hab ich echt auf dem Schlauch gestanden... Danke!
> So, nun zeig Du mal, dass R(P) abgeschlossen ist. Beachte:
> R(P)= {x [mm] \in [/mm] X: Px=x }
Ok... Also:
[mm](x_n)[/mm] ist konvergente Folge in R(P). [mm] x_0 [/mm] ist der Grenzwert.
Also [mm] x_n \rightarrow x_0, [/mm] P stetig [mm] \Rightarrow Px_n \rightarrow Px_0
[/mm]
Und da [mm] x_n \in [/mm] R(P) gilt also [mm] Px_n [/mm] = [mm] x_n. [/mm] Beide Seiten konvergieren, ingesamt gibt das: [mm] Px_0 [/mm] = [mm] x_0, [/mm] also [mm] x_0 \in [/mm] R(P).
[mm] \Rightarrow [/mm] R(P) ist abgeschlossen
Korrekt?
Gruß,
die Prinzessin
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Di 26.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
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> > > Hast du evtl einen Tipp für mich? Ich tue mich mit
> > > Folgen/Grenzwerten immer schwer.
> > Das ist aber schlecht, wenn man Funktionalanalysis
> treibt
> Dass es mir schwerfällt bedeutet ja nicht, dass ich es
> gar nicht kann...
................ hat ja auch keiner behauptet ............
>
> > Es ist N(P) = [mm] \{x\in X:Px=0\}
[/mm]
> >
> > Nun nimm mal eine konvergente Folge [mm](x_n)[/mm] aus N(P) her .
> > Sei [mm]x_0[/mm] ihr Limes.
> >
> > Also [mm]x_n \to x_0.[/mm] P ist stetig, also [mm]Px_n \to Px_0.[/mm] Weil
> > alle [mm]x_n \in[/mm] N(P) sind, sit [mm]Px_n[/mm] = 0 für jedes n. Somit:
> > [mm]Px_0[/mm] =0, also [mm]x_0 \in[/mm] N(P)
> >
> > N(P) ist somit abgeschlossen.
> Da hab ich echt auf dem Schlauch gestanden... Danke!
>
> > So, nun zeig Du mal, dass R(P) abgeschlossen ist. Beachte:
> > R(P)= [mm] \{x\inX:Px=x\}
[/mm]
> Ok... Also:
> [mm](x_n)[/mm] ist konvergente Folge in R(P). [mm]x_0[/mm] ist der
> Grenzwert.
> Also [mm]x_n \rightarrow x_0,[/mm] P stetig [mm]\Rightarrow Px_n \rightarrow Px_0[/mm]
>
> Und da [mm]x_n \in[/mm] R(P) gilt also [mm]Px_n[/mm] = [mm]x_n.[/mm] Beide Seiten
> konvergieren, ingesamt gibt das: [mm]Px_0[/mm] = [mm]x_0,[/mm] also [mm]x_0 \in[/mm]
> R(P).
> [mm]\Rightarrow[/mm] R(P) ist abgeschlossen
> Korrekt?
Ja
FRED
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> Gruß,
> die Prinzessin
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