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| Aufgabe | Gegeben sei eine lineare Abbildung [mm] R^2 [/mm] --> [mm] R^4
[/mm]
f( ( 1 / 1 ) ) = ( 3 / 2 / 1 / 0 ) f( ( 2 / -1 ) ) = ( 2 / - 4 / 3 / 1 )
Nun soll ich den Kern bestimmen.
Mein Lösungsansatz war: |
Kern f :
( 0 / 0 / 0 / 0 ) = f ( a ( 1 / 1 ) + b ( 2 / - 1 ) ) = a ( 3 / 2 / 1 / 0 ) + b ( 2 / - 4 / 3 / 1 )
Dann würde ich erhalten :
0 = 3a + 2b
0 = 2 a - 4 b
0 = a + 3b
0 = b
Demzufolge waäre ja aber auch a = 0 und mein Kern ( 0 / 0 / 0 / 0 ).
Wo liegt denn hier bitte mein Fehler????
DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 So 12.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dein einziger Fehler ist : der Kern liegt im Urbildraum !
also mit a=b=0 ist [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] der einzige Vektor im Kern !
(dieser ist aber auch immer im Kern!!)
Das heisst deine Abbildung ist injektiv.
(was du auch daran siehst, dass due zwei linear unabhaengige Vektoren als Bild der basis bekommst - sieh dir mal dann den Dimensionssatz an)
Das bild ist uebrigens zweidimensional , also ist die Abbildung nicht surjektiv !
viele Gruesse
DaMenge
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