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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:58 Mi 22.11.2006 | | Autor: | djmarek |
Hallo an alle!
Ich habe eine Frage zum Kern von einer Matrix: Irgendwie versteh ich das voll nicht. Was ist der Kern`? Kann mir jemand anhand einer Matrix eine Beispielrechnung zeigen wie man zum Kern kommt???
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
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Naja, eine Matrix ist ja eine Abbildung. Du steckst einen Vektor rein, und raus kommt ein anderer Vektor.
Nun kann das Ergebnis ja auch [mm] \vec{0} [/mm] sein - alle Vektoren, für die [mm] \vec{0} [/mm] raus kommt, bilden den Kern.
Beispielsweise:
[mm] \pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&0 \\ 0&0&0 }
[/mm]
Was macht diese Matrix? Sie setzt die z-Komponente eines vektors auf 0. Alle Vektoren werden also in die xy-Ebene projiziert!
Das heißt aber doch auch, daß alle Vektoren, die NUR in z-Richtung zeigen, auf [mm] \vec{0} [/mm] abgebildet werden!
Und wenn du mal die Lösung für
[mm] $\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 1&0 \\ 0&0&0 }\vektor{x\\y\\z}=\vec [/mm] 0$
anschaust, kommt da tatsächlich raus, daß x=y=0 gilt, und z beliebig ist. Die Vektoren [mm] \vektor{0\\0\\z} [/mm] werden auf [mm] \vec{0} [/mm] abgebildet, bilden also den Kern. Der ist hier nur eindimensional, aber er kann auch mehrdimensional sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Do 23.11.2006 | | Autor: | djmarek |
hi !
danke für deine schnelle Hilfe! Also ich habe nur dieses nicht verstanden : Das heißt aber doch auch, daß alle Vektoren, die NUR in z-Richtung zeigen, auf abgebildet werden ,
wie kommst du den auf diesen 0 0 z vektor?
also ist der Kern ein vektor der mit der Matrix multipliziert 0 ergibt??
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Hallo djmarek!
> hi !
> danke für deine schnelle Hilfe! Also ich habe nur dieses
> nicht verstanden : Das heißt aber doch auch, daß alle
> Vektoren, die NUR in z-Richtung zeigen, auf abgebildet
> werden ,
> wie kommst du den auf diesen 0 0 z vektor?
Naja, berechne doch mal das Produkt von der angegebenen Matrix mit dem Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z}. [/mm] Da kommt genau [mm] \vektor{x\\y\\0} [/mm] raus. Und das bedeutet, dass dieser Vektor gleich dem Nullvektor ist, genau dann, wenn x=y=0 ist, denn die z-Komponente ist eh gleich Null, egal was z vorher war.
> also ist der Kern ein vektor der mit der Matrix
> multipliziert 0 ergibt??
Nicht ganz, der Kern sind alle Vektoren, die durch die Matrix auf den Nullvektor abgebildet werden.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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