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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Fr 23.01.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | Hallo. Es geht um folgende Aufgabenstellung:
Mit den unabhängigen Zufallsvariablen X1 ~ N(5,4) und X2 ~ [mm] N(0,\sigma_{2}^{2}) [/mm] erzeugt man die Zufallsvariable Y=a+b*X1+X2 ~ [mm] N(\mu_{y},\sigma^{2}_{y}).
[/mm]
a) Berechnen Sie die Kovarianzen Cov(X1,Y), Cov(X2,Y), Cov(Y,Y).
b) Der Zufallsvektor Z hat die Komponenten X1,X2,Y. Geben Sie EZ und Cov(Z) an.
c) Welche Werte haben die Konstanten a und b, wenn Y ~ N(15,25) und Cov(X1,Y)=8 ? |
Ich habe die Aufgaben sogut es ging folgendermaßen gelöst:
a) Cov(X1,Y)=Cov(X1,a+b*X1+X2)|(Linearität der Kov. anw.)
= [mm] Cov(X1,a+b*X1)+\underbrace{Cov(X1,X2)}_{=0 (wegen Unabh. der Zufallsvar.)}
[/mm]
=a+b*Cov(X1,X1)|Linearität
=a+b*Var(X1)=a+b*4
Cov(X2,Y)=Cov(X2,a+b*X1+X2)|Linearität anwenden.
=Cov(X2,a+b*X1)+Cov(X2,X2)|Linearität
[mm] =a+b*\underbrace{Cov(X1,X2)}_{=0 (wegen Unabh. der Zufallsvar.)}+Var(X2)
[/mm]
[mm] =\sigma_{2}^{2}
[/mm]
Cov(Y,Y)=Cov(a+b*X1+X2,a+b*X1+X2)|Linearität im 1. Arg.
=a+b*Cov(X1+X2,a+b*X1+X2)|Linearität im 1. Arg.
=a+b*Cov(X1,a+b*X1+X2)+Cov(X2,a+b*X1+X2)|Lin. im 2. Arg.
=a+b*a+b*Cov(X1,X1+X2)+(a+b*Cov(X2,X1+X2))|Lin. im 2. Arg.
=a+b*a+b*Cov(X1,X1)+Cov(X1,X2)+(a+b*Cov(X2,X1)+Cov(X2,X2))|Unabh. ausnutzen
=a+b*a+b*Var(X1)+Var(X2)
[mm] =(a+b)^{2}*4+\sigma_{2}^{2}
[/mm]
zu b)
[mm] EZ=\vektor{X1 \\ X2 \\ Y}=\vektor{5 \\ 0 \\ \mu_{y}}
[/mm]
[mm] Cov(Z)=\pmat{ Var(X1) & Cov(X1,X2) & Cov(X1,Y)\\
Cov(X2,X1) & Var(X2) & Cov(X2,Y) \\
Cov(Y,X1) & Cov(Y,X2) & Var(Y) } [/mm] (Kovarianzmatrix)
[mm] =\pmat{4 & 0 & a+b*4 \\
0 & \sigma_{2}^{2} & \sigma_{2}^{2} \\
0 & 0 & (a+b)^{2}*4+\sigma_{2}^{2} }
[/mm]
zu c)
da gilt doch
1.) Cov(X1,Y)=8, also a+b*4=8
2.) Y=a+b*X1+X2
In Kombination mit 1.) gillt dann doch auch:
X1+X2=4=def.XY, also somit: Y=a+b*4
Wie hilft mir das jetzt weiter? Ich hab ja noch Y~N(15,25) zur Verfügung.
Dann gilt doch auch:
[mm] \phi(\bruch{XY-\mu_{y}}{\sigma_{y}})=a+b*x1+x2
[/mm]
Hilft mir das vielleicht weiter?
Andererseits könnte ich natürlich direkt aus a+b*4=8 schließen, dass a=4 und b=1 sein muss, oder kann man das so nicht direkt bestimmen?
Sind meine Lösungen soweit korrekt? Wer kann mir bei der Teilaufgabe c) weiterhelfen?
Gruß, Ralf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Sa 24.01.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Ralf,
Ich habe nicht alles in Detail geprueft, fuerchte aber, dass du noch einmal rechnen musst, da du eine falsche Regel zur Kovarianz verwendest.Fuer Zufallsvariablen U,V,X,Y und Skalare a,b,c,d,e,f gilt naemlich
[mm] $\operatorname{Cov}[a+bU+cV,d+eX+fY]=be\operatorname{Cov}[U,X]+ bf\operatorname{Cov}[U,Y]+ce\operatorname{Cov}[V,X]+cf\operatorname{Cov}[V,Y]$
[/mm]
(Die Absolutterme verschwinden.)
Bei der Berechnung der Kovarianz kannst du noch nutzen
[mm] $\operatorname{Cov}[Y,Y]=\operatorname{Var}[Y]$. [/mm] Das erleichtert die Sache kolossal.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Sa 24.01.2009 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | | Vielen Dank für die Hilfe. Die Regel, dass bezüglich der Linearität bei der Kovarianz die Absolutterme verschwinden, war mir bisher nicht bekannt. Ich habe die Teilaufgabe a) nun mal korrigiert und möchte wissen, ob sie so stimmt. |
a)
Cov(X1,a+b*X1+X2)
=Cov(X1,b*X1)+Cov(X1,x2)
=b*Cov(X1,X1)
=b*Var(X1)
=4*b
Cov(X2,a+b*X1+X2)
=Cov(X2,b*X1+X2)
=b*Cov(X2,X1)+Cov(X2,X2)
=Var(X2)
[mm] =\sigma_{2}^{2}
[/mm]
Cov(a+b*x1+X2,a+b*X1+X2)
=b*b*Cov(X1+X2,X1+X2)
[mm] =b^{2}*Cov(X1,X1)+Cov(X1,X2)+Cov(X2,X1)+Cov(X2,X2)
[/mm]
[mm] =b^{2}*Var(X1)+Var(X2)
[/mm]
[mm] =b^{2}*4+\sigma_{2}^{2}
[/mm]
zu b): EZ wie vorher, Cov(Z)=Kovarianzmatrix wie vorher, aber mit den nun geänderten Werten für die Kovarianzen
Sind diese Ergebnisse bis hierher jetzt korrekt?
Wer kann mir bei Teilaufgabe c) weiterhelfen? Einen Ansatz habe ich ja bereits verfolgt...
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß, Ralf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:55 Sa 24.01.2009 | | Autor: | luis52 |
> Vielen Dank für die Hilfe. Die Regel, dass bezüglich der
> Linearität bei der Kovarianz die Absolutterme verschwinden,
> war mir bisher nicht bekannt. Ich habe die Teilaufgabe a)
> nun mal korrigiert und möchte wissen, ob sie so stimmt.
> a)
> Cov(X1,a+b*X1+X2)
> =Cov(X1,b*X1)+Cov(X1,x2)
> =b*Cov(X1,X1)
> =b*Var(X1)
> =4*b
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Cov(X2,a+b*X1+X2)
> =Cov(X2,b*X1+X2)
> =b*Cov(X2,X1)+Cov(X2,X2)
> =Var(X2)
> [mm]=\sigma_{2}^{2}[/mm]
>
> Cov(a+b*x1+X2,a+b*X1+X2)
> =b*b*Cov(X1+X2,X1+X2)
> [mm]=b^{2}*Cov(X1,X1)+Cov(X1,X2)+Cov(X2,X1)+Cov(X2,X2)[/mm]
> [mm]=b^{2}*Var(X1)+Var(X2)[/mm]
> [mm]=b^{2}*4+\sigma_{2}^{2}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $\operatorname{Cov}[a+b*X_1+X_2,a+b*X_1+X_2]=\operatorname{Var}[a+b*X_1+X_2]=b^2\operatorname{Var}[X_1]+\operatorname{Var}[X_2]$
[/mm]
>
> zu b): EZ wie vorher, Cov(Z)=Kovarianzmatrix wie vorher,
> aber mit den nun geänderten Werten für die Kovarianzen
???
>
> Sind diese Ergebnisse bis hierher jetzt korrekt?
> Wer kann mir bei Teilaufgabe c) weiterhelfen? Einen Ansatz
> habe ich ja bereits verfolgt...
Ja, aber mit den falschen Formeln.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Sa 24.01.2009 | | Autor: | RalU |
> > Cov(a+b*x1+X2,a+b*X1+X2)
> > =b*b*Cov(X1+X2,X1+X2)
> > [mm]=b^{2}*Cov(X1,X1)+Cov(X1,X2)+Cov(X2,X1)+Cov(X2,X2)[/mm]
> > [mm]=b^{2}*Var(X1)+Var(X2)[/mm]
> > [mm]=b^{2}*4+\sigma_{2}^{2}[/mm]
>
Warum kann ich hier nicht die Werte für die Varianzen aus den geg. Normalvert. einsetzen? (siehe meine Lösung) Ansonsten hab ich ja das gleiche raus...
> [mm]\operatorname{Cov}[a+b*X_1+X_2,a+b*X_1+X_2]=\operatorname{Var}[a+b*X_1+X_2]=b^2\operatorname{Var}[X_1]+\operatorname{Var}[X_2][/mm]
>
> > zu b): EZ wie vorher, Cov(Z)=Kovarianzmatrix wie vorher,
> > aber mit den nun geänderten Werten für die Kovarianzen
>
> ???
>
Hierzu meinte ich, dass ich die Lösungen ähnlich wie vorher hatte, also [mm] EZ=\vektor{X1 \\ X2 \\ Y}=\vektor{5 \\ 0 \\ \mu_{y}}
[/mm]
und
[mm] Cov(Y)=\pmat{4 & 0 & 4*b \\ 0 & \sigma_{2}^{2} & \sigma_{2}^{2} \\ 0 & 0 & b^{2}*Var(X1)+Var(x2)} [/mm] (Covarianzmatrix)
Ich komme bei der Teilaufgabe c) noch nicht weiter. (siehe Ansatz in der 1. Frage)
Gruß, Ralf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 So 25.01.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich komme bei der Teilaufgabe c) noch nicht weiter. (siehe
> Ansatz in der 1. Frage)
>
[mm] \begin{matrix}
8&=&\operatorname{Cov}[X_1,a+bX_1+X_2] \\
&=&b\operatorname{Cov}[X_1,X_1] \\
&=&b\operatorname{Var}[X_1] \\
&=&4b \\
15&=&\operatorname{E}[Y] \\
&=&a+b\operatorname{E}[X_1]+ \operatorname{E}[X_2]\\
&=&a+10
\end{matrix}
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 So 25.01.2009 | | Autor: | RalU |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Gruß Ralf
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