Keine Funktion 3. Grades? < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Wie lauten die Funktionen 3. Grades, die ihren Hochpunkt im Ursprung und ihren Wendepunkt auf der x-Achse haben? |
Die Funktion hat die Form: [mm] f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d
[/mm]
d=0 und c=0 wegen "Hochpunkt im Ursprung"
Ferner ist [mm] 0=6ax_{w}+2b [/mm] und [mm] 0=ax_{w}^{3}+bx_{w}^{2} [/mm] wegen "Wendepunkt auf der x-Achse"
Aus den letzten beiden Gleichungen (2 Gleichungen mit den Unbekannten a und b) ergibt sich: a=0 und b=0
Also wäre die Funktion: [mm] f(x)=0x^{3}+0x^{2}+0x+0
[/mm]
Was soll denn das sein??? Also gibt es gar keine Funktion, die die in der Aufgabe genannten Eigenschaften hat.
Wenn man allerdings eine Zeichnung anfertigt, dann sieht es so aus, als ob es doh solche Funktionen geben würde. Oder sind das nur optische Täuschungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:12 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sieht so aus, als würde es wirklich keine Funktion geben. Ich wüsste auch nicht, wie man die zeichnen sollte! Kannst ja mal dein Bild zeigen. :)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:24 Mo 23.03.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Es war eine optische Täuschung.
Bei einer Funktion 3. Grades kann ein Wendepunkt niemals den selben y-Wert haben wie ein Extrempunkt.
Wer Lust hat, kann diesen Satz ja mal "beweisen". (By the way: ich hasse "Beweise")
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Teufel |
Ich würde den Satz sogar schon fast als bewiesen ansehen.
Du hast ja herausgefunden, dass, wenn [mm] y_H=0, [/mm] kein Wendepunkt mit [mm] y_W=0 [/mm] existiert. Und der Rest ergibt sich eben daraus, dass man die Funktion ja beliebig verschieben kann (entlang der x- und der y-Achse), ohne, dass das etwas an ihren eigentlichen Verklauf ändert.
Soll heißen, dass Hochpunkt und Wendepunkt gleichermaßen mitverschoben werden würden und es dadurch nie zu einer Übereinstimmung der y-Werte kommen kann.
Wäre zumindest meine Variante, jetzt, wo wir das an dem konkreten Beispiel mit H(0|0) schon gezeigt haben.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Mo 23.03.2009 | | Autor: | rabilein1 |
Anfangs war ich über das Ergebnis ("es gibt keine solche Funktion") überrascht.
Ein Wendepunkt kann aber nur zwischen zwei Extrempunkten liegen.
Und eine Funktion 3. Grades hat keine zwei Extrempunkten mit dem selben y-Wert. Insofern überrascht mich das Resultat nun nicht mehr.
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Man kann leicht zeigen, dass eine Funktionskurve 3. Grades,
die tatsächlich einen Hochpunkt besitzt, auch einen Tiefpunkt
besitzen muss, dessen y-Koordinate kleiner ist als die des
Hochpunktes. Ferner ist bei solchen Kurven der Wendepunkt
(es gibt genau einen) stets der Mittelpunkt zwischen Hochpunkt
und Tiefpunkt. Aus diesen Eigenschaften folgt, dass Hochpunkt
und Wendepunkt verschiedene y-Koordinaten haben müssen.
LG Al
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