Keine Abzählbare Basis < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Do 06.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo an alle!
Bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:
Sei $ X $ eine nicht abzählbare, linear geordnete Menge. Zeigen Sie, dass die Intervalle $ [a,b[ $, $ [mm] a,\, [/mm] b [mm] \in [/mm] X $, $ a [mm] \le [/mm] b $, die Basis einer Topologie von $ X $ bilden; beschreiben Sie die offenen Mengen von $ X $, und weisen Sie nach, dass diese Topologie keine abzählbare Basis besitzt.
Folgendes habe ich mir bereits überlegt:
Nehmen wir an, es sei $ [mm] card(X)>card(\IR) [/mm] $. Sei $ M $ die Menge der halboffenen Intervalle in $ X $, dann ist auch $ [mm] card(X)>card(\IR)=card(2^{\IN})=card(B) [/mm] $, wobei $ B $ eine abzählbare Teilmenge der Menge der offenen Mengen der besagten Topologie sein soll. Damit gibt es sicher eine halboffene Menge $ [a,b[, [mm] a,b\in [/mm] X $, die nicht Vereinigung von Elementen aus $ B $ ist.
Es bleibt also der Fall $ [mm] card(X)=card(\IR) [/mm] $ zu prüfen. Und hier liegt mein Problem: ich kann nicht zeigen, dass es keine von $ X $ verschiedene überabzählbare Vereinigung verschiedener halboffener Mengen geben kann. In $ [mm] \IR [/mm] $ ist das klar, denn in jedem Intervall liegt eine rationale Zahl, doch scheint es im Allgemeinen keine ordungserhaltende Bijektion von $ [mm] \IR [/mm] $ in zu $ [mm] \IR [/mm] $ gleichmächtige, linear geordnete Mengen zu geben. Mit der Existenz solcher überabzählbarer Vereinigungen komme ich nicht klar. Nehmen wir an, es gäbe sie nicht, dann lässt sich eine abzählbare Menge halboffener Intervalle $ [mm] [a_i,b_i[ [/mm] $ finden, für die die Elemente der (scheinbar) abzählbaren Basis alle abzählbare Vereinigungen dieser Intervalle sind. Dann wählt man ein Element $ x $ aus $ [mm] X\setminus \{a_i\}_{i\in\IN} [/mm] $ und betrachtet ein beliebiges halboffenes Intervall mit $ x $ als Untergrenze. Dieses Intervall kann dann nicht Vereinigung von Elementen der abzählbaren Basis sein - Widerspruch.
Ich hatte meine Überlegngen auch schon formeller aufgeschrieben, stockte dann allerdings wie gesagt an der möglichen Existenz von überabzählbaren Vereinigungen halboffener Intervalle, die ungleich X sind.
Kann mir jemand einen Tip zum Lösen der Aufgabe geben? Danke!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Do 06.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich bin ja kein Experte, aber kennst du schon die
![[]](/images/popup.gif) Kontinuumshypothese ??!?
> Es bleibt also der Fall [mm]card(X)=card(\IR)[/mm] zu prüfen. Und
> hier liegt mein Problem: ich kann nicht zeigen, dass es
also anzunehmen, dass nur noch dieser Fall übrig bleibt ist schon leicht kritisch einzuschätzen ...
Deine weiteren Ausführungen innerhalb dieses Falles (der nicht gefundene Widerspruch) hat mich doch auch sehr an Gödel erinnert ...
Man sollte hier also vorsichtig sein und wissen, was man da vorraussetzt.
Inhaltlich helfen kann ich dir leider nicht :-(
viele grüße
DaMenge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:55 Do 06.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Kann mir jemand einen Tip zum Lösen der Aufgabe geben?
An der knobel ich auch schon (gut, habe sie mir auch nicht so sehr angesehehn.). aber folgende Idee: Es gibt ein intervall [a,b), so dass keine Element aus der Basis a als linken Punkt hat ("Infium" quasi). Jetzt müsste das Vereinigung abzählbarer, offener Mengen sein - damit müsste aber a schon in einer offenen Menge liegen, damit hätten wir einen Widerspruch.
Wenn ich so drüber nachdenke, dann müsste es das genau sein! aber vielleicht übersehe ich da was ... hmmm. Btw: kommt im Querenburg irgendwann mal Homotopie(gruppe) und universelle Überlagerung dran?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:14 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Ecki!
Jein, das hatte ich mir auch überlegt, doch kann eine Menge der Basis überabzählbare Vereinigug offener Intervalle sein - damit erhältst du überabzählbar viele "linke" Punkte.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:05 Fr 07.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Jein, das hatte ich mir auch überlegt, doch kann eine Menge
> der Basis überabzählbare Vereinigug offener Intervalle sein
> - damit erhältst du überabzählbar viele "linke" Punkte.
Nein - ich definiere das vielleicht formaler: ich nenne einen Punkt a linken Punkt einer offenen Menge M, wenn: [m]a\in M\wedge \forall b
Die Idee ist hier ja auch: [a,b) kann man ja nur als Vereinigung von Mengen angeben, die in [a,b) enthalten sind. Jetzt muss also a in einer Menge vorhanden sein - und damit dann zwangsläufig linker Punkt sein. Widerspruch.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:33 Fr 07.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Ecki!
Ja, die Lösung ist richtig! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Ich habe im Mathe-Training bereits darauf verwiesen.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Hanno,
man kann Deine und Eckhards Beweisidee so auf den Punkt bringen:
Für alle a [mm] \in [/mm] X ist [mm]A := \bigcup_{a
Dann gibt es aus einer gegebenen Topolgie-Basis B eine Umgebung U [mm] \subset [/mm] A von a, denn andernfalls ließe sich A nicht mittels B darstellen. Sei mit einer Auswahlfunktion f(a) eine solche Umgebung zu jedem a bestimmt. Dann ist a = min f(a), denn f(a) [mm] \subset [/mm] A, a [mm] \in [/mm] f(a) und a = min A. Für a < b ist aber f(a) [mm] \not= [/mm] f(b), denn sonst ist b = min f(b) = min f(a) = a.
Damit ist f: X -> B injektiv und zusammen mit X ist B überabzählbar.
Gruß, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 Sa 08.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Richard!
Danke, das ist ein toller Beweis!
Liebe Grüße,
Hanno
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