Kehrwert von Nullfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Mi 23.05.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Zeige dass der Kehrwert von Nullfolgen uneigentlich gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert |
Hallo liebe Gemeinde!
Hier mein Ansatz:
Gelte (Folge an konvergiert gegen 0):
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in\IN: [/mm] |an| < [mm] \varepsilon \forall [/mm] n>N
=> [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in\IN: [/mm] 1/|an| > [mm] 1/\varepsilon \quad \forall [/mm] n>N
[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists N\in\IN: [/mm] |1/an| > [mm] 1/\varepsilon \quad \forall [/mm] n>N
wähle [mm] \varepsilon'= 1/\varepsilon
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon' [/mm] >0 [mm] \exists N\in\IN: [/mm] |1/an| > [mm] \varepsilon \quad \forall [/mm] n>N
dies bedeutet das die Folge 1/an ab einem bestimmten Index größer als jedes gewählten [mm] \varepsilon [/mm] wird.
somit unendlich groß wird. also folgt daraus das 1/an uneigentlich gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert.
kann ich so argumentieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Mi 23.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige dass der Kehrwert von Nullfolgen uneigentlich gegen
> [mm]\infty[/mm] konvergiert
Diese Aussage stimmt so, wie sie da oben steht, schon mal gar nicht !
Ist z.B. [mm] $a_n=- \bruch{1}{n}$, [/mm] so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge, aber [mm] 1/a_n=-n \to [/mm] $- [mm] \infty$
[/mm]
Ist z.B. [mm] (a_n)=(0,0,0,...), [/mm] so kann man vom Kehrwert der Folge nicht reden !
Die Aussage sollte so lauten: ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge , sind alle [mm] a_n \ne [/mm] 0 und sind fast alle [mm] a_n [/mm] > 0, so gilt: [mm] 1/a_n \to \infty [/mm] .
Alternativ: ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge , sind alle [mm] a_n \ne [/mm] 0 und sind fast alle [mm] a_n [/mm] < 0, so gilt: [mm] 1/a_n \to -\infty [/mm] .
>
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Hier mein Ansatz:
>
> Gelte (Folge an konvergiert gegen 0):
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists N\in\IN:[/mm] |an| < [mm]\varepsilon \forall[/mm]
> n>N
>
> => [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists N\in\IN:[/mm] 1/|an| >
> [mm]1/\varepsilon \quad \forall[/mm] n>N
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists N\in\IN:[/mm] |1/an| >
> [mm]1/\varepsilon \quad \forall[/mm] n>N
>
> wähle [mm]\varepsilon'= 1/\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\forall \varepsilon'[/mm] >0 [mm]\exists N\in\IN:[/mm] |1/an| >
> [mm]\varepsilon \quad \forall[/mm] n>N
>
> dies bedeutet das die Folge 1/an ab einem bestimmten Index
> größer als jedes gewählten [mm]\varepsilon[/mm] wird.
> somit unendlich groß wird. also folgt daraus das 1/an
> uneigentlich gegen [mm]\infty[/mm] konvergiert.
>
> kann ich so argumentieren?
Du meinst schon das Richtige, aber ganz sauber war es nicht.
Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge , es seien alle [mm] a_n \ne [/mm] 0 und für fast alle n sei [mm] a_n [/mm] > 0.
Wir geben ein C > 0 vor. Dann gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
0 < [mm] a_n [/mm] < 1/C für n>N.
Folglich ist [mm] 1/a_n [/mm] > C für alle n>N.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Mi 23.05.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke fred!
ja sorry! an >0 das hab ich nicht abgetippt ....
ja so ist es eleganter danke :)
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