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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:23 Mo 01.12.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Graph der folgenden impliziten "Funktion":
[mm] 2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x+(12+\sqrt{3})*y=1 [/mm] |
[mm] 2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x+(12+\sqrt{3})*y=1
[/mm]
[mm] \gdw 2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x+(12+\sqrt{3})*y-1=0
[/mm]
[mm] a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*x+f=0
[/mm]
[mm] b\not=0 \to [/mm] Drehung des Koordinatensystems:
[mm] a\not=c \to \alpha=\bruch{1}{2}*arctan(\bruch{b}{a-c})=30°
[/mm]
[mm] x=u*cos(30°)-v*sin(30°)=\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v
[/mm]
[mm] y=u*sin(30°)+v*cos(30°)=\bruch{1}{2}*u-\bruch{\sqrt{3}}{2}*v
[/mm]
einsetzen:
[mm] \gdw 2*\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v\right)^2
[/mm]
[mm] +2*\sqrt{3}*\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v\right)*\left(\bruch{1}{2}*u-\bruch{\sqrt{3}}{2}*v\right)
[/mm]
[mm] +(1-12*\sqrt{3})*\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v\right)
[/mm]
[mm] +(12+\sqrt{3})*\left(\bruch{1}{2}*u-\bruch{\sqrt{3}}{2}*v\right)-1=0
[/mm]
[mm] \gdw 2*\left(\bruch{3}{4}*u^2-\bruch{\sqrt{3}}{2}*u*v+\bruch{1}{4}*v^2\right)
[/mm]
[mm] +2*\sqrt{3}*\left(\bruch{\sqrt{3}}{4}*u^2+\bruch{3}{4}*u*v-\bruch{1}{4}*u*v+\bruch{\sqrt{3}}{4}*v^2\right)
[/mm]
[mm] +\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v-18*u+6*\sqrt{3}*v
[/mm]
[mm] +6*u+6*\sqrt{3}*v+\bruch{\sqrt{3}}{2}*u+\bruch{3}{2}*v-1=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{2}*u^2-\sqrt{3}*u*v+\bruch{1}{2}*v^2
[/mm]
[mm] +\bruch{3}{2}*u^2+\bruch{\sqrt{3}*3}{2}*u*v-\bruch{\sqrt{3}}{2}*u*v+\bruch{3}{2}*v^2
[/mm]
[mm] +\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v-18*u+6*\sqrt{3}*v
[/mm]
[mm] +6*u+6*\sqrt{3}*v+\bruch{\sqrt{3}}{2}*u+\bruch{3}{2}*v-1=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*u^2+2*v^2+\sqrt{3}*u-12*u+12*\sqrt{3}*v+1v-1=0
[/mm]
Ich könnte jetzt Koeffizienten ausklammern und quadratisch ergänzen, allerdings kommen dann total Krumme Zahlen bei rum und ich kann mir nicht vorstellen, dass das so sein soll.
Allerdings finde ich bisjetzt auch keinen Fehler!?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie den Graph der folgenden impliziten
> "Funktion":
> [mm]2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x+(12+\sqrt{3})*y=1[/mm]
> [mm]2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x+(12+\sqrt{3})*y=1[/mm]
>
> [mm]\gdw 2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x+(12+\sqrt{3})*y-1=0[/mm]
>
> [mm]a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*x+f=0[/mm]
>
> [mm]b\not=0 \to[/mm] Drehung des Koordinatensystems:
>
> [mm]a\not=c \to \alpha=\bruch{1}{2}*arctan(\bruch{b}{a-c})=30°[/mm]
>
> [mm]x=u*cos(30°)-v*sin(30°)=\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v[/mm]
>
> [mm]y=u*sin(30°)+v*cos(30°)=\bruch{1}{2}*u-\bruch{\sqrt{3}}{2}*v[/mm]
Das muss heissen:
[mm]\blue{y=u*sin(30°)+v*cos(30°)=\bruch{1}{2}*u}\red{+}\blue{\bruch{\sqrt{3}}{2}*v}[/mm]
>
> einsetzen:
>
> [mm]\gdw 2*\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v\right)^2[/mm]
>
> [mm]+2*\sqrt{3}*\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v\right)*\left(\bruch{1}{2}*u-\bruch{\sqrt{3}}{2}*v\right)[/mm]
>
> [mm]+(1-12*\sqrt{3})*\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v\right)[/mm]
>
> [mm]+(12+\sqrt{3})*\left(\bruch{1}{2}*u-\bruch{\sqrt{3}}{2}*v\right)-1=0[/mm]
>
>
> [mm]\gdw 2*\left(\bruch{3}{4}*u^2-\bruch{\sqrt{3}}{2}*u*v+\bruch{1}{4}*v^2\right)[/mm]
>
> [mm]+2*\sqrt{3}*\left(\bruch{\sqrt{3}}{4}*u^2+\bruch{3}{4}*u*v-\bruch{1}{4}*u*v+\bruch{\sqrt{3}}{4}*v^2\right)[/mm]
> [mm]+\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v-18*u+6*\sqrt{3}*v[/mm]
>
> [mm]+6*u+6*\sqrt{3}*v+\bruch{\sqrt{3}}{2}*u+\bruch{3}{2}*v-1=0[/mm]
>
>
> [mm]\gdw \bruch{3}{2}*u^2-\sqrt{3}*u*v+\bruch{1}{2}*v^2[/mm]
>
> [mm]+\bruch{3}{2}*u^2+\bruch{\sqrt{3}*3}{2}*u*v-\bruch{\sqrt{3}}{2}*u*v+\bruch{3}{2}*v^2[/mm]
> [mm]+\bruch{\sqrt{3}}{2}*u-\bruch{1}{2}*v-18*u+6*\sqrt{3}*v[/mm]
>
> [mm]+6*u+6*\sqrt{3}*v+\bruch{\sqrt{3}}{2}*u+\bruch{3}{2}*v-1=0[/mm]
>
>
> [mm]\gdw 3*u^2+2*v^2+\sqrt{3}*u-12*u+12*\sqrt{3}*v+1v-1=0[/mm]
>
> Ich könnte jetzt Koeffizienten ausklammern und quadratisch
> ergänzen, allerdings kommen dann total Krumme Zahlen bei
> rum und ich kann mir nicht vorstellen, dass das so sein
> soll.
> Allerdings finde ich bisjetzt auch keinen Fehler!?
>
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:57 Mo 01.12.2008 | | Autor: | tedd |
Aye, stimmt!
War allerdings nur ein Aberschreib/Copy/Paste Fehler.
Die Rechnung müsste trotzdem stimmen...
$ [mm] 2\cdot{}x^2+2\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}x\cdot{}y+(1-12\cdot{}\sqrt{3})\cdot{}x+(12+\sqrt{3})\cdot{}y=1 [/mm] $
$ [mm] \gdw 2\cdot{}x^2+2\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}x\cdot{}y+(1-12\cdot{}\sqrt{3})\cdot{}x+(12+\sqrt{3})\cdot{}y-1=0 [/mm] $
$ [mm] a\cdot{}x^2+b\cdot{}x\cdot{}y+c\cdot{}y^2+d\cdot{}x+e\cdot{}x+f=0 [/mm] $
$ [mm] b\not=0 \to [/mm] $ Drehung des Koordinatensystems:
$ [mm] a\not=c \to \alpha=\bruch{1}{2}\cdot{}arctan(\bruch{b}{a-c})=30° [/mm] $
$ [mm] x=u\cdot{}cos(30°)-v\cdot{}sin(30°)=\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v [/mm] $
$ [mm] y=u\cdot{}sin(30°)+v\cdot{}cos(30°)=\bruch{1}{2}\cdot{}u+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}v [/mm] $
einsetzen:
$ [mm] \gdw 2\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v\right)^2 [/mm] $
$ [mm] +2\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v\right)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\cdot{}u+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}v\right) [/mm] $
$ [mm] +(1-12\cdot{}\sqrt{3})\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v\right) [/mm] $
$ [mm] +(12+\sqrt{3})\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\cdot{}u+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}v\right)-1=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw 2\cdot{}\left(\bruch{3}{4}\cdot{}u^2-\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u\cdot{}v+\bruch{1}{4}\cdot{}v^2\right) [/mm] $
$ [mm] +2\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{4}\cdot{}u^2+\bruch{3}{4}\cdot{}u\cdot{}v-\bruch{1}{4}\cdot{}u\cdot{}v+\bruch{\sqrt{3}}{4}\cdot{}v^2\right) [/mm] $
$ [mm] +\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v-18\cdot{}u+6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v [/mm] $
$ [mm] +6\cdot{}u+6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u+\bruch{3}{2}\cdot{}v-1=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{3}{2}\cdot{}u^2-\sqrt{3}\cdot{}u\cdot{}v+\bruch{1}{2}\cdot{}v^2 [/mm] $
$ [mm] +\bruch{3}{2}\cdot{}u^2+\bruch{\sqrt{3}\cdot{}3}{2}\cdot{}u\cdot{}v-\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u\cdot{}v+\bruch{3}{2}\cdot{}v^2 [/mm] $
$ [mm] +\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v-18\cdot{}u+6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v [/mm] $
$ [mm] +6\cdot{}u+6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u+\bruch{3}{2}\cdot{}v-1=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw 3\cdot{}u^2+2\cdot{}v^2+\sqrt{3}\cdot{}u-12\cdot{}u+12\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v+1v-1=0 [/mm] $
Danke und Gruß,
tedd
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Mir scheint die Aufgabe eigenartig. Vielleicht habe ich aber auch gerade nur einen Denkfehler. Trotzdem (oder gerade deswegen) bitte ich um Bestätigung der Aufgabenstellung. War die vielleicht wie folgt?
[mm] 2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-\bruch{12}{\sqrt{3}})*x+(12+\sqrt{3})*y=1 [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mo 01.12.2008 | | Autor: | tedd |
Nein die Aufgabenstellung ist richtig (abgeschrieben), ich werde aber vorsichtshalber morgen noch einmal nachfragen bevor sich da evtl. unnötig Mühe gemacht wird.
Gruß,
tedd
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mo 01.12.2008 | | Autor: | reverend |
Moment, Moment - bloß weil ich gerade einen Knoten im Hirn habe, müssen ja nicht alle anderen aufhören zu denken.
Danke für die Überprüfung. Ich geh derweil mal den Knoten suchen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Mi 03.12.2008 | | Autor: | tedd |
Die Aufgabenstellung stand tatsächlich falsch auf dem Aufgabenblatt....
richtig sollte es heissen:
[mm] 2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x{\color{Red}-}(12*x+\sqrt{3})*y=1
[/mm]
also nochmal von vorne...
$ [mm] b\not=0 \to [/mm] $ Drehung des Koordinatensystems:
$ [mm] a\not=c \to \alpha=\bruch{1}{2}\cdot{}arctan(\bruch{b}{a-c})=30° [/mm] $
$ [mm] x=u\cdot{}cos(30°)-v\cdot{}sin(30°)=\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v [/mm] $
$ [mm] y=u\cdot{}sin(30°)+v\cdot{}cos(30°)=\bruch{1}{2}\cdot{}u+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}v [/mm] $
einsetzen:
$ [mm] \gdw 2\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v\right)^2 [/mm] $
$ [mm] +2\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v\right)\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\cdot{}u+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}v\right) [/mm] $
$ [mm] +(1-12\cdot{}\sqrt{3})\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v\right) [/mm] $
$ [mm] -(12+\sqrt{3})\cdot{}\left(\bruch{1}{2}\cdot{}u+\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}v\right)-1=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw 2\cdot{}\left(\bruch{3}{4}\cdot{}u^2-\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u\cdot{}v+\bruch{1}{4}\cdot{}v^2\right) [/mm] $
$ [mm] +2\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}\left(\bruch{\sqrt{3}}{4}\cdot{}u^2+\bruch{3}{4}\cdot{}u\cdot{}v-\bruch{1}{4}\cdot{}u\cdot{}v-\bruch{\sqrt{3}}{4}\cdot{}v^2\right) [/mm] $
$ [mm] +\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v-18\cdot{}u+6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v [/mm] $
$ [mm] -6\cdot{}u-6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v-\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{3}{2}\cdot{}v-1=0 [/mm] $
$ [mm] \gdw \bruch{3}{2}\cdot{}u^2-\sqrt{3}\cdot{}u\cdot{}v+\bruch{1}{2}\cdot{}v^2 [/mm] $
$ [mm] +\bruch{3}{2}\cdot{}u^2+\bruch{\sqrt{3}\cdot{}3}{2}\cdot{}u\cdot{}v-\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u\cdot{}v-\bruch{3}{2}\cdot{}v^2 [/mm] $
$ [mm] +\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{1}{2}\cdot{}v-18\cdot{}u+6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v [/mm] $
$ [mm] -6\cdot{}u-6\cdot{}\sqrt{3}\cdot{}v-\bruch{\sqrt{3}}{2}\cdot{}u-\bruch{3}{2}\cdot{}v-1=0 [/mm] $
[mm] \gdw 3*u^2-1*v^2-2v-24u-1=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*(u^2-8*u+16-16)-(v^2+2*v+1-1)-1=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*(u-4)^2-48-(v+1)^2+1-1=0
[/mm]
[mm] \gdw 3*(u-4)^2-(v+1)^2=48
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(u-4)^2}{16}-\bruch{(v+1)^2}{48}=1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(u-4)^2}{4^2}-\bruch{(v+1)^2}{(\sqrt{48})^2}=1
[/mm]
Also habe ich eine Hyperbel geöffnet in u-Richtung mit Mittelpunkt [mm] M=(4/-1)_{u/v}
[/mm]
Asymptoten [mm] v=\bruch{\sqrt{48}}{4}*u [/mm] und [mm] v=-\bruch{\sqrt{48}}{4}*u
[/mm]
Brennweite [mm] e=\sqrt{16+48}=8
[/mm]
Brennpunkte:
[mm] F_1=(8/0)_{u/v}
[/mm]
[mm] F_2=(-8/0)_{u/v}
[/mm]
Scheitelpunkte:
[mm] S_1=(4/0)_{u/v}
[/mm]
[mm] S_1=(-4/0)_{u/v}
[/mm]
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Ich hab's nicht nachgerechnet, aber das sieht schon viel eher aus wie eine sinnvolle Übungsaufgabe und ihre richtige Lösung 
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> Die Aufgabenstellung stand tatsächlich falsch auf dem
> Aufgabenblatt....
>
> richtig sollte es heissen:
>
> [mm]2*x^2+2*\sqrt{3}*x*y+(1-12*\sqrt{3})*x{\color{Red}-}(12\red{*x}+\sqrt{3})*y=1[/mm]
Hallo tedd,
doch noch eine Frage zu dieser Aufgabenstellung, bevor
ich allenfalls weiterrechne: sie steht hier gar nicht in
Normalform, wenn da tatsächlich noch das rot markierte x
steht, das mit dem hinter der Klammer stehenden y
multipliziert nochmals einen Beitrag zum gemischten
Glied liefert !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Mi 03.12.2008 | | Autor: | reverend |
gute Frage; ich hatte das automatisch für einen Tippfehler gehalten - muss es ja aber gar nicht sein.
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Tippfehler: in solchem Kontext eigentlich nicht tolerierbar ! ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mi 03.12.2008 | | Autor: | tedd |
Argh,
nein... das x in der Klammer war jetzt ein Tippfehler meinerseits... Manometer....
Danke und besten Gruß,
tedd
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