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Hallo!
Wir beginnen in der Schule gerade mit den Kegelschnitten, rechnen aber nicht mit Vektoren.Nun habe ich im Netz ein PDF gefunden wo einige Formeln hergeleitet werden.Nun wollte ich fragen:
Wie wende ich sie bei konkreten Aufgabenstellungen an?Könnte mir bitte jemand helfen?
Erstmal die Herleitung einer der Formeln:
Die Formel eines geraden Kreiskegels lautet:[mm]y^2+x^2=\frac{z^2}{c^2}[/mm].Ich nehme an, diese Formel kann nur mithilfe von Vektoren hergeleitet werden, oder?Nun hat man die Ebene z=mx+h.
Gilt m=0 und [mm]h\not\neq0[/mm], so entsteht [mm]x^2+y^2=\frac{h^2}{c^2}[/mm], ein Kreis mit dem Radius [mm]r=|\frac{h}{c}|[/mm]
oder
m=c und [mm]h\not\neq0[/mm] , so entsteht die Formel [mm]x=\frac{m}{2h}y^2-\frac{h}{2m}[/mm]
Ok. genug Formeln fürs erste. Jetzt habe ich im Netzt nach Aufgaben gesucht und bin auf http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kegels.htm gestoßen.Hier lautet die Gleichung für die Parabel aber [mm] y^2=2px.Wie [/mm] bringe ich das mit meiner hergeleiteten Formel in Einklang und welche soll ich verwenden?
Für die Hyperbel m<c [mm]h\not\neq0[/mm] fand ich z.B bei der Herleitung die Formel:[mm]\frac{y^2}{(\frac{t}{c})^2}-\frac{t^2}{u^2}=1\qquad u=\sqrt{(m^2-c^2)}x+\frac{hm}{\sqrt{(m^2-c^2)}}\qquad t=\sqrt{h^2-\frac{m^2h^2}{m^2-c^2}}[/mm] auf der Website aber die Formel [mm]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
Eine Aufgabe zur Parabel lautet hier: par: p = 2 .Es ist nur einzusetzten und man hat schon die Gleichung der Parabel!Auserdem spielen hier die Variabeln der Herleitung z.B m, h, c scheinbar keine Rolle mehr??Der Kegelschnitt sollte aber ja abhängig von z=mx+h sein.Und auch bei ist doch c variabel, oder(hängt von den Maßen des Kegels ab, oder?)?.Gibt es keine Aufgaben wo Kegelgleichung und Ebene gegeben sind und Radius bzw. Funktionsgleichung des Schnitts gesucht ist?Ich habe nichts im Netz gefunden, kennt jemand eine Site?
Gruß und Danke!
Angelika
Ich habe diese Frage auch bei www.matheboard.de gestellt.
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Hallo AbraxasRishi,
> Hallo!
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> Wir beginnen in der Schule gerade mit den Kegelschnitten,
> rechnen aber nicht mit Vektoren.Nun habe ich im Netz ein
> PDF gefunden wo einige Formeln hergeleitet werden.Nun
> wollte ich fragen:
> Wie wende ich sie bei konkreten Aufgabenstellungen
> an?Könnte mir bitte jemand helfen?
>
> Erstmal die Herleitung einer der Formeln:
>
> Die Formel eines geraden Kreiskegels
> lautet:[mm]y^2+x^2=\frac{z^2}{c^2}[/mm].Ich nehme an, diese Formel
> kann nur mithilfe von Vektoren hergeleitet werden, oder?Nun
> hat man die Ebene z=mx+h.
Die kann man auch elementar herleiten.
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> Gilt m=0 und [mm]h\not\neq0[/mm], so entsteht
> [mm]x^2+y^2=\frac{h^2}{c^2}[/mm], ein Kreis mit dem Radius
> [mm]r=|\frac{h}{c}|[/mm]
>
> oder
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> m=c und [mm]h\not\neq0[/mm] , so entsteht die Formel
> [mm]x=\frac{m}{2h}y^2-\frac{h}{2m}[/mm]
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> Ok. genug Formeln fürs erste. Jetzt habe ich im Netzt nach
> Aufgaben gesucht und bin auf
> http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/kegels.htm
> gestoßen.Hier lautet die Gleichung für die Parabel aber
> [mm]y^2=2px.Wie[/mm] bringe ich das mit meiner hergeleiteten Formel
> in Einklang und welche soll ich verwenden?
[mm]y^{2}=2px[/mm] ist eine Parabel, die durch den Nullpunkt geht.
Währende die hergeleitete Formel, zwar auch eine Parabel darstellt, diese
geht aber jedoch nicht durch den Nullpunkt.
[mm] x=\frac{m}{2h}y^2-\frac{h}{2m} [/mm]
[mm] \gdw x+\frac{h}{2m} = \frac{m}{2h}y^{2}[/mm]
[mm] \gdw \frac{2h}{m} \left(x+\frac{h}{2m}\right) = y^{2}[/mm]
Durch die Transformationen
[mm]x'=x+\frac{m}{2h}[/mm]
[mm]y'=y[/mm]
und mit [mm]2p=\frac{2h}{m}[/mm]
kommst Du auch auf die Form [mm]y^{2}=2px[/mm]
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> Für die Hyperbel m<c [mm]h\not\neq0[/mm] fand ich z.B bei der
> Herleitung die
> Formel:[mm]\frac{y^2}{(\frac{t}{c})^2}-\frac{t^2}{u^2}=1\qquad u=\sqrt{(m^2-c^2)}x+\frac{hm}{\sqrt{(m^2-c^2)}}\qquad t=\sqrt{h^2-\frac{m^2h^2}{m^2-c^2}}[/mm]
> auf der Website aber die Formel
> [mm]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1[/mm]
>
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> Eine Aufgabe zur Parabel lautet hier: par: p = 2 .Es ist
> nur einzusetzten und man hat schon die Gleichung der
> Parabel!Auserdem spielen hier die Variabeln der Herleitung
> z.B m, h, c scheinbar keine Rolle mehr??Der Kegelschnitt
> sollte aber ja abhängig von z=mx+h sein.Und auch bei ist
> doch c variabel, oder(hängt von den Maßen des Kegels ab,
> oder?)?.Gibt es keine Aufgaben wo Kegelgleichung und Ebene
> gegeben sind und Radius bzw. Funktionsgleichung des
> Schnitts gesucht ist?Ich habe nichts im Netz gefunden,
> kennt jemand eine Site?
>
> Gruß und Danke!
>
> Angelika
>
> Ich habe diese Frage auch bei www.matheboard.de gestellt.
Gruß
MathePower
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