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| Aufgabe | Zeige, dass Rel = relative Produkt eine Kategorie bildet.
f: [mm] A\to [/mm] B mit [mm] f\subset [/mm] AxB und die Identität [mm] 1_A [/mm] = [mm] {(a,a)\in AxA| a\in A}\subset [/mm] AxA
Weiter gilt für [mm] R\subset [/mm] AxB, [mm] S\subset [/mm] BxC: [mm] (a,c)\in S\circ [/mm] R <=> [mm] \exists [/mm] b: [mm] (a,b)\in [/mm] R ^ [mm] (b,c)\in [/mm] S |
So für eine Kategorie muss gelten:
[mm] (h\circ g)\circ [/mm] f = [mm] h\circ (g\circ [/mm] f) und [mm] f\circ 1_A [/mm] = f = [mm] 1_B\circ [/mm] f
Assoziativität: Sei f: [mm] A\to [/mm] B, g: [mm] B\to [/mm] C, h: [mm] C\to [/mm] D
[mm] (a,d)\in (h\circ g)\circ [/mm] f
<=> [mm] \exists [/mm] b: [mm] (a,b)\in [/mm] f ^ [mm] (b,d)\in (h\circ [/mm] g)
<=> [mm] \exists [/mm] b: [mm] (a,b)\in [/mm] f ^ [mm] \exists [/mm] c: [mm] (b,c)\in [/mm] g ^ [mm] (c,d)\in [/mm] h
<=> [mm] (a,c)\in (g\circ [/mm] f) ^ [mm] (c,d)\in [/mm] h
<=> [mm] (a,d)\in h\circ (g\circ [/mm] f)
Einheit: Sei f: [mm] A\to [/mm] B, [mm] 1_A: A\to [/mm] A, [mm] 1_B: B\to [/mm] B
[mm] (a,b)\in f\circ 1_A
[/mm]
<=> [mm] \exists [/mm] a: [mm] (a,a)\in 1_A [/mm] ^ [mm] (a,b)\in [/mm] f
<=> [mm] (a,b)\in [/mm] f
<=> [mm] \exists [/mm] b: [mm] (a,b)\in [/mm] f ^ [mm] (b,b)\in 1_B
[/mm]
<=> [mm] (a,b)\in 1_B\circf
[/mm]
Ist das so richtig, oder fehlt was für die eigenschaft einer Kategorie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Di 27.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeige, dass Rel = relative Produkt eine Kategorie bildet.
> f: [mm]A\to[/mm] B mit [mm]f\subset[/mm] AxB und die Identität [mm]1_A[/mm] =
> [mm]{(a,a)\in AxA| a\in A}\subset[/mm] AxA
> Weiter gilt für [mm]R\subset[/mm] AxB, [mm]S\subset[/mm] BxC: [mm](a,c)\in S\circ[/mm]
> R <=> [mm]\exists[/mm] b: [mm](a,b)\in[/mm] R ^ [mm](b,c)\in[/mm] S
Die Objekte sollen also Mengen sein, und die Hom-Mengen die Menge aller Teilmengen von $A [mm] \times [/mm] B$?
> So für eine Kategorie muss gelten:
> [mm](h\circ g)\circ[/mm] f = [mm]h\circ (g\circ[/mm] f) und [mm]f\circ 1_A[/mm] = f =
> [mm]1_B\circ[/mm] f
Genau.
> Assoziativität: Sei f: [mm]A\to[/mm] B, g: [mm]B\to[/mm] C, h: [mm]C\to[/mm] D
> [mm](a,d)\in (h\circ g)\circ[/mm] f
> <=> [mm]\exists[/mm] b: [mm](a,b)\in[/mm] f ^ [mm](b,d)\in (h\circ[/mm] g)
> <=> [mm]\exists[/mm] b: [mm](a,b)\in[/mm] f ^ [mm]\exists[/mm] c: [mm](b,c)\in[/mm] g ^
> [mm](c,d)\in[/mm] h
In der Zeile fehlt jetzt ein Existenz-Quantor:
> <=> [mm](a,c)\in (g\circ[/mm] f) ^ [mm](c,d)\in[/mm] h
> <=> [mm](a,d)\in h\circ (g\circ[/mm] f)
Bis auf den fehlenden Quantor sieht es ok aus.
> Einheit: Sei f: [mm]A\to[/mm] B, [mm]1_A: A\to[/mm] A, [mm]1_B: B\to[/mm] B
> [mm](a,b)\in f\circ 1_A[/mm]
Die Schreibweise macht jetzt nicht viel Sinn:
> <=> [mm]\exists[/mm] a: [mm](a,a)\in 1_A[/mm] ^
> [mm](a,b)\in[/mm] f
Entweder schreibst du
> <=> [mm](a,a)\in 1_A[/mm] ^ [mm](a,b)\in[/mm] f
oder
> <=> [mm]\exists c: a = c \wedge (a,c)\in 1_A[/mm] ^ [mm](c,b)\in[/mm] f
Aber das was du geschrieben hast ist falsch, da $a$ dort ploetzlich eine gebundene Variable ist und keine freie mehr.
> <=> [mm](a,b)\in[/mm] f
Hier dann genauso wie gerade:
> <=> [mm]\exists[/mm] b: [mm](a,b)\in[/mm] f ^ [mm](b,b)\in 1_B[/mm]
> <=> [mm](a,b)\in 1_B\circf[/mm]
>
> Ist das so richtig, oder fehlt was für die eigenschaft
> einer Kategorie?
Das war eigentlich schon alles. Die Hom-Mengen sind offenbar Mengen, da die Potenzmenge eine Menge ist.
LG Felix
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okay danke erstmal. dass der zweite teil leicht vermurkst war hab ich mir schon gedacht ;)
Assoziativität: Sei f: [mm] A\to [/mm] B, g: [mm] B\to [/mm] C, h: [mm] C\to [/mm] D
[mm] (a,d)\in (h\circ g)\circ [/mm] f
<=> [mm] \exists [/mm] b: [mm] (a,b)\in [/mm] f ^ [mm] (b,d)\in (h\circ [/mm] g)
<=> [mm] \exists [/mm] b: [mm] (a,b)\in [/mm] f ^ [mm] \exists [/mm] c: [mm] (b,c)\in [/mm] g ^ [mm] (c,d)\in [/mm] h
<=> [mm] \exists (a,c)\in (g\circ [/mm] f) ^ [mm] (c,d)\in [/mm] h <- so?
<=> [mm] (a,d)\in h\circ (g\circ [/mm] f)
Einheit: Sei f: [mm] A\to [/mm] B, [mm] 1_A: A\to [/mm] A, [mm] 1_B: B\to [/mm] B
[mm] (a,b)\in f\circ 1_A
[/mm]
<=> [mm] (a,a)\in 1_A [/mm] ^ [mm] (a,b)\in [/mm] f
<=> [mm] (a,b)\in [/mm] f
<=> [mm] (a,b)\in [/mm] f ^ [mm] (b,b)\in 1_B
[/mm]
<=> [mm] (a,b)\in 1_B\circ [/mm] f
Hab jetzt hier die Quantoren weggelassen. Wenn ich das mit [mm] \exists [/mm] c schreibe, wie sehen dann die Folge Schritte aus (damit sollte man doch arbeiten oder?)? Ich muss ja zb wieder auf [mm] (a,b)\in [/mm] f kommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Do 29.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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