Kartenverteilung Doppelkopf < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Zu Doppelkopf findet man zwar allerlei Berechnungen, aber zu folgender Frage habe ich noch keine Antwort gefunden:
Gegeben sei ein Doppelkopfspiel ohne Neunen, also mit 40 Karten. Es sei noch keine der vier Herz-Karten, die kein Trumpf sind (also 2x Ass + 2x König) im Spiel aufgetaucht, weder angespielt, noch abgeschmissen.
Jetzt kommt folgende Spielsituation: Herz wird ausgespielt und der Spieler an zweiter Stelle (oder dritter) Stelle hat kein Herz und sticht mit dem Fuchs (Karo As).
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
a) der Fuchs von einem noch folgenden Spieler mit einem Buben überstochen wird
und
b) der Fuchs dadurch bei der gegnerischen Mannschaft landet?
Ich habe zwar mal ein Mathematik im Grundstudium gehabt, aber die Berechnung bekomme ich nicht hin.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:03 Di 22.07.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Lass mich als "Nicht-Wirklich-Doppelkopfler" (Ich habe es mal gespielt und kenne die Regeln, das wars aber auch) erstmal einen Überblick verschaffen.
Es soll also so sein, dass ein Spieler, der Herz anspielt, mit einem Karo-As überstochen wird.
Dieser wird ja dann wiederum überstochen, wenn jemand hinter ihm kein Herz mehr hat. Also geht der Fuchsstich durch, wenn beide hinter ihm noch Herz haben. Also darf genau ein Spieler kein Herz haben, der muss aber dafür genau ein Karo As haben.
Und diese Situation kannst du ermitteln. Es gibt noch 40-8=32 Karten vorhanden.
Jetzt muss ein Spieler 2/32 Herzkarten haben, einer genau eines der beiden Karo-AS und kein Herz, und zwei Spieler genau ein Herz.
Die Reihenfolge ist auch wichtig.
Jetzt gibt es genau sechs Fälle, die du per Baumdiagramm lösen kannst.
1 Fall:
Ausspieler
eine Herzkarte
2. Spieler:
Karo As
3 Spieler
Herzkarte
4. Spieler
zwei Herzkarten
2. Fall:
Ausspieler
eine Herzkarte
2. Spieler:
Karo As
3. Spieler
zwei Herzkarten
4. Spieler
eine Herzkarte
3. Fall:
Ausspieler
Zwei Herzkarten
2. Spieler:
Karo As
3 Spieler
eine Herzkarte
4. Spieler
eine Herzkarte
4. Fall:
Ausspieler
eine Herzkarte
2. Spieler:
eine Herzkarte
3 Spieler
Ein Karo-As
4. Spieler
zwei Herzkarten
5. Fall:
Ausspieler
eine Herzkarte
2. Spieler:
Zwei Herzkarten
3 Spieler
Ein Karo-As
4. Spieler
eine Herzkarte
6. Fall
Ausspieler
zwei Herzkarten
2. Spieler:
eine Herzkarte
3 Spieler
Ein Karo-As
4. Spieler
eine Herzkarte
Das sind die mögliche Fälle, das der Fuchsstich funktioniert.
Marius
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Hallo Marius!
Schon mal Danke für Deine Antwort.
Noch mal zur Klärung: es geht mir um die Wahrscheinlichkeit, mit der der Spieler an 2./3. Stelle damit rechnen muß, daß der der Fuchs, mit dem er selber den Herzstich einsticht, erstens mit einem Buben überstochen wird und zweitens dadurch bei der gegnerischen Mannschaft landet.
Soweit ich weiß, sind nur in ca. jedem 9. Spiel (ca 11% aller möglichen Kartenverteilungen) die vier Herzkarten so verteilt, daß jeder Spieler genau eine Herzkarte auf der Hand hat. Das ist aber auch schon so ziemlich alles, was ich darüber weiß. :-(
Es geht also um die restlichen 89% aller Verteilungen. Dabei können aber die Verteilungen, bei denen der ausspielende Spieler kein Herz-As oder mehr als eine Herzkarte auf der Hand hat, außen vorgelassen werden. Denn wenn er mehr als eine Herzkarte hat, wird er es nicht anspielen, denn er weiß, daß der Stich nicht rumgeht. Hat er nur einen König, wird er es ebenfalls nicht anspielen, denn er kann den Stich auf keinen Fall bekommen.
Es geht also streng genommen nur um die Fälle, in der der Ausspieler genau ein Herz-As auf der Hand hat und die restliche Verteilung der Herzkarten unbekannt ist. Der Spieler an zweiter (dritter) Stelle hat kein Herz und sticht mit dem Karo-As, dem Fuchs.
Und ich möchte jetzt gerne wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für den Spieler mit dem Fuchs ist, daß ihm der Fuchs "geklaut" wird und bei der gegnerischen Mannschaft landet.
Es wäre schön, wenn Du oder jemand anderes mir das berechnen kann. Ich habe zwar mal Mathe im Grundstudium gehabt, aber das ist fast 20 Jahre her und viel ist leider nicht hängengeblieben.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Do 24.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo!
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> Zu Doppelkopf findet man zwar allerlei Berechnungen, aber
> zu folgender Frage habe ich noch keine Antwort gefunden:
>
> Gegeben sei ein Doppelkopfspiel ohne Neunen, also mit 40
> Karten. Es sei noch keine der vier Herz-Karten, die kein
> Trumpf sind (also 2x Ass + 2x König) im Spiel aufgetaucht,
> weder angespielt, noch abgeschmissen.
Hallo, hier taucht noch ein Problem auf, das deine Fragestellung weiter verkompiziert. Du triffst keine Aussage darüber, in welchem Stich des Spiels wir uns befinden. Nimm einmal an, wir sind schon mitten im Spiel. Rot ist noch nicht gefallen, aber sämtliche (oder einige) Buben wurden schon gespielt. Dann kann man natürlich nicht oder nur noch eingeschränkt mit einem Buben den Fuchs stechen.
Außerdem bedeutet ja die Spielsituation "Fuchs sticht Rot und dahinter sitzt noch einer, der kein Rot hat" nicht zwangsläufig, dass dieser Spieler den Fuchs unbedingt sticht (vielleicht will er lieber selbst eine "dumme" Karte abwerfen)
Gruß Abakus
PS: Doppelkopf ist wirklich ein geiles Spiel
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> Jetzt kommt folgende Spielsituation: Herz wird ausgespielt
> und der Spieler an zweiter Stelle (oder dritter) Stelle
> hat kein Herz und sticht mit dem Fuchs (Karo As).
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> Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit dafür, daß
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> a) der Fuchs von einem noch folgenden Spieler mit einem
> Buben überstochen wird
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> und
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> b) der Fuchs dadurch bei der gegnerischen Mannschaft
> landet?
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> Ich habe zwar mal ein Mathematik im Grundstudium gehabt,
> aber die Berechnung bekomme ich nicht hin.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Do 24.07.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Es gibt - wie schon erwähnt - extrem viele Spielsituationen, so dass es unmöglich ist, die Wahrscheinlichkeit exakt zu berechnen.
Somit sollte man es folgendermaßen vereinfachen:
Es handelt sich um den allerersten Stich.
Spieler 1 wirft Herz Ass und Spieler 2 hat kein Herz und wirft Caro Ass.
Nun ist die Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Spieler 3 oder Spieler 4 kein Herz (es bleiben ja nur noch 2 Herz Könige und ein Herz Ass - alle anderen Herz-Karten sind Trumpf)?
Man kann auch getrost davon ausgehen, dass sowohl Spieler 3 als auch Spieler 4 noch über Trümpfe verfügen, die höher als der Fuchs sind.
Nun sollte das relativ leicht zu lösen sein = wie können die Karten "Herz König, Herz König und Herz Ass" verteilt sein, wenn Spieler 2 keine dieser Karten besitzt?
Als Letztes muss man dann noch berücksichtigen, dass der "Spieler ohne Herz" Gegner von Spieler 2 ist (und ihm damit den Fuchs klaut). Da zwei der drei Spieler Gegner sind, ist die Wahrschinlichkeit dafür 66.6%.
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Stimmt, Du hast natürlich Recht. Wie auch "HJKweseleit" schon angesprochen hat, muss in der von mir beschriebenen Situation ja ein Spieler 3 Herz haben und nur der ausspielende Spieler genau 1 Herz-Ass, denn 2 Spieler können Herz stechen.
Irgendwie habe ich wohl zu kompliziert gedacht beim Beschreiben des Problems. Mann kann man die Frage auch wesentlich einfacher stellen:
Nehmen wir an, es handelt sich um den ersten Stich. Der ausspielende Spieler besitzt nur eines der beiden Herz-Asse und spielt es aus. Die restlichen 3 Herzkarten sind entweder alle bei Spieler 3 oder bei Spieler 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit landet der Fuchs, mit dem Spieler 2 das Herz-As sticht, dann beim Gegner?
Wobei es mir dabei jedoch ankommt, ist die Wahrscheinlichkeit des Verlustes des Fuchses aus Sicht von Spieler 2, denn der weiß in dem Moment, da er den Fuchs auf das Herz-As legt, natürlich nicht, daß er überstochen wird, weil außer ihm noch ein anderer Spieler "herzlos" ist, und er weiß auch noch nicht, mit wem er spielt. Die Frage aus seiner Sicht lautet also: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens einer der noch folgenden Spieler mein Gegner ist und mir den Fuchs klaut?
Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Verlustes des Fuchses, wenn nicht Spieler 2, sondern Spieler 3 mit dem Fuchs sticht?
In diesem Fall gibt es für die Verteilung der Herzkarten nur eine einzige Möglichkeit: Spieler 1 hat nur eines der beiden Herz-Asse und Spieler 2 hat die restlichen 3 Herzkarten. Spieler 3 nicht weiß jedoch nicht, daß Spieler 4 ebenfalls kein Herz hat und wirft den Fuchs. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muß der Fuchswerfer jetzt damit rechnen, daß Spieler 4 sein Gegner ist und ihm den Fuchs klaut?
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Spieler A hat nur ein Herz, das Herz As, und er spielt es auf. Spieler B hat kein Herz und wirft den Fuchs. Die anderen 3 Herzen befinden sich damit "hundertprozentig" bei C und D.
Frage: Wie groß ist dann(!) die W., dass sie alle bei einem der beiden liegen?
Die W. hängt immer davon ab, was man schon weiß. Für uns ist also ganz sicher, dass sich die 3 restlichen Herzen bei C und D befinden. Die W., dass dann (!) alle bei C sind, ist 1/2*1/2*1/2=1/8, dass alle bei D sind ebenfalls 1/8, also insgesamt 1/4, dass die 3 Herzen alle bei C oder alle bei D sind. In diesem Fall - so setzen wir voraus - wird der Fuchs abgestochen.
p(Fuchs gestochen)=1/4.
Wenn man noch nicht weiß, wer mit wem spielt, sitzt man 1 Freund und 2 Gegnern gegenüber. Die W., dass der Fuchs beim Gegner landet, ist somit 2/3.
Insgesamt beträgt dann das Risiko p(Fuchs landet beim Gegner)=1/4*2/3=1/6.
In 5/6 der Fälle landet der Fuchs somit zu Hause (in 3/4) der Fälle bei einem selber, in 1/12 der Fälle beim Freund).
Also: riskieren!
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Wenn ich als B weiß, dass A mein Mitspieler ist, sind C und D meine Gegner. In diesem Fall holen sie sich mit der W. 1/4 den Fuchs, meine Chance sinkt also auf 75 %.
Wenn ich weiß, dass A mein Gegner ist (oder, was auf das selbe hinausläuft, dass C oder D mein Mitspieler ist), so ist die Chance für meinen Gegner C oder D, dass er kein Herz hat, nur 1/8, die Chance für meine Partei, den Fuchs nach Hause zu bringen, steigt dann sogar auf 7/8.
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Die Wahrsch. erscheint mir ein bißchen hoch. Die Spiel-Erfahrung lehrt mich etwas anderes: da landet der Fuchs in der Mehrzahl der beschriebenen Fälle beim Gegner. Zumindest ist es "gefühlt" so.
Mir ist gestern noch eine Möglichkeit eingefallen, um die Frage zu vereinfachen:
Nehmen wir an, es handel sich um den ersten Stich im Spiel. Zu diesem Zweck können wir das Kartenspiel einfach auf 20 Karten reduzieren:
- die 8 Damen
- 1 Karo-As
- die 4 Herz-Karten
- 7 Bauern
20 Karten ist die kleinste Menge von Karten, mit denen alle Fälle darstellbar sind, inkl. des Falles, daß ein Spieler beide Kreuz-Damen und 3 Kreuz-Karten auf der Hand hat. Somit muß für die Berechnung jeder Spieler 5 Karten auf der Hand haben, macht insgesamt 20 Karten.
Variante 1:
Gesucht sind alle möglichen Verteilungen der Karten, bei denen folgende Randbedingungen erfüllt sind:
- Spieler 1 hat nur eine Herz-Karte, nämlich ein As
- Spieler 2 hat keine Herz-Karte
- Spieler 2 hat das Karo-As
- die restlichen 3 Herz-Karten befinden sich alle bei Spieler 3 oder Spieler 4
Alle Fälle, in denen Spieler 2 nicht in derselben Mannschaft ist wie der Spieler, der außer ihm ebenfalls kein Herz hat, sind die "bösen" Fälle, in denen der Fuchs abhanden kommt.
Variante 2:
Gesucht sind alle Verteilungen, in denen diese Bedingungen erfüllt sind:
- Spieler 1 hat genau ein Herz-As
- Spieler 2 hat die restlichen 3 Herz-Karten
- Spieler 3 hat das Karo-As
- Spieler 4 hat kein Herz und übersticht den Fuchs
Dann wären alle Fälle zu betrachten, in denen Spieler 3 und Spieler 4 nicht in einer Mannschaft spielen
Für beide Varianten gilt:
Wenn zwei Spieler "nicht in derselben Mannschaft" spielen, bedeutet das beim Doko, daß einer von beiden mindestens 1 Kreuz-Dame hat und der andere keine.
Aus diesen Angaben und Bedingungen müßte ein(e) Mathematiker(in) doch etwas machen können, auch wenn er/sie kein Doppelkopf spielt. 
Oder ist mein Gedankengang falsch?
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Die Reduktion auf 20 Karten bringt rechentechnisch nicht viel. Meine Berechnung bezog sich nur darauf, dass der 2. Spieler (nicht der 3.) den Fuchs wirft. Hierzu gilt noch folgende Überlegung:
Wenn du nur die Fälle betrachtest, in denen A nur eine Herz-Karte, nämlich das As, hat, stimmt die von mir berechnete W. mit Sicherheit.
Aber tatsächlich ist es so, dass A gelegentlich auch dann das Herz As aufspielen wird, wenn er noch einen König hat und z.B. kein anderes As, er aber auch aus irgendwelchen Gründen kein Trumpf aufspielen will. Er weiß, dass es abgestochen wird und hofft, dass es sein Mitspieler bekommt. Die Überlegung dahinter: Wenn ich sowieso das Aufspiel abgebe, spielt irgendwann ein anderer das andere Herz As aus und mein As bleibt darunter, geht also sowieso weg. Wirft B den Fuchs, so müssen nun die beiden anderen Herzen nur noch auf einer Hand sein (W. jetzt noch 1/4+1/4=1/2 statt, wie zuvor, 1/4), und der Fuchs wird abgestochen. Die Abstechrate hat sich also verdoppelt!
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Nun noch der Fall, dass C den Fuchs wirft.
A spielt das As aus und hat auch sonst kein Herz. B wirft den König, C hat kein Herz und wirft den Fuchs. Wie groß ist jetzt die W., dass er von D abgestochen wird?
Für C steht folgendes fest: A hat nur 1 Herz, B mindestens eins, er selber keins. Wie groß ist die W., dass nun B auch noch beide andere Herzen und damit D keines hat?
1/2*1/2=1/4
Mit W. 1/4 wird er von D übertrumpft. Ist die Mannschaftszugehörigkeit noch unklar, ist D mit W. 2/3 ein Gegner, und mit W. 1/4*2/3 = 1/6 ist der Fuchs weg, mit W. 5/6 gerettet. Damit unterscheidet sich dieser Fall nicht von dem, dass B den Fuchs wirft. Die Abweichung zwischen Theorie und Praxis lässt sich m.E. nur mit dem obigen Verhalten von A erklären.
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Bei Hochzeit muss man noch unterscheiden, ob man selber beide Damen hat, seinen Mitspieler kennt oder der Hochzeiter am Ende sitzt. Vielleicht kannst du dir das selber mal in allen möglichen Varianten durchspielen, es lohnt aber nicht, sich auf 20 Karten zu beschränken.
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> Die Reduktion auf 20 Karten bringt rechentechnisch nicht viel.
Jain.
Mit 20 Karten sind es nur noch "20 über 4" Möglichkeiten, die untersucht werden müssen. Das müßte mein Rechner eigentlich schaffen. Nicht, daß ich Dir nicht glauben oder trauen würde, aber ich werde einfach mal eine kleine Simulation schreiben und zählen, wie oft der Fuchs verloren geht.
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> Aber tatsächlich ist es so, dass A gelegentlich auch dann
> das Herz As aufspielen wird, wenn er noch einen König hat
> und z.B. kein anderes As, er aber auch aus irgendwelchen
> Gründen kein Trumpf aufspielen will. Er weiß, dass es
Klar, die Möglichkeiten gibt es auch noch. Und da ich gesagt habe, daß es mir nur im die Wahrscheinlichkeit aus Sicht des Fuchswerfers geht, müssten die eigentlich auch mit eingerechnet werden. Das wird meine Simulation dann ja hoffentlich mit erledigen.
Egal, wie das Ergebnis aussieht: Danke für Deine Mühen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Fr 01.08.2008 | | Autor: | rabilein1 |
> Die Spiel-Erfahrung lehrt mich etwas anderes: da landet der
> Fuchs in der Mehrzahl der beschriebenen Fälle beim Gegner.
> Zumindest ist es "gefühlt" so.
Dieses ist ein guter Satz.
Die mathematischen Berechnungen sind oftmals recht kompliziert, und wie man gesehen hat, führen sie zu unterschiedlichen Ergebnissen - je nachdem, was man als gegeben voraus setzt. (Zum Beispiel könnte auch jemand mit zwei Herz Assen eines davon ausspielen, in der risikofreudigen Hoffnung, dass seine Karte vom FREUND gestochen wird.)
Die Erfahrung und das "Gefühlte" - das sind doch die Dinge, die einen in der Praxis entscheiden lassen, was man tut (nicht nur im Spiel, sondern auch im "ernst des Lebens").
Im Nachhinein kann man dann mathematisch ausrechnen, ob man klug gehandelt hat, oder ob die Entscheidung schon von vorneherein zum Scheitern verurteilt war.
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