Kap. 2.1 < Kapitel 2: Ringe und < Algebra-Kurs 2006 < Universität < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Fr 17.11.2006 | | Autor: | statler |
Es sei R ein Ring, der ein nilpotentes Element a [mm] \not= [/mm] 0 enthalte; nilpotent bedeutet, daß es ein n [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] a^{n} [/mm] = 0 gibt. Man zeige, daß die Einheitengruppe R* eine echte Untergruppe der Einheitengruppe (R[X])* ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 21.02.2007 | | Autor: | comix |
Es genügt ein Beispiel:
Sei [mm] a^{n}=0, a\not=0, [/mm] n>1.
Sei n in dieser Eigenschaft minimal.
Beh: [mm] a^{n-1}X+1 [/mm] ist eine Einheit in R[X].
Es gilt:
[mm] (a^{n-1}X+1)(-a^{n-1}X+1) [/mm] = [mm] -a^{2n-2}X^{2} [/mm] + 1 =
= [mm] -a^{n}a^{n-2}X^{2} [/mm] + 1 = [mm] 0*a^{n-2}X^{2} [/mm] + 1 = 1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:49 Do 22.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo,
> Es genügt ein Beispiel:
> Sei [mm]a^{n}=0, a\not=0,[/mm] n>1.
> Sei n in dieser Eigenschaft minimal.
> Beh: [mm]a^{n-1}X+1[/mm] ist eine Einheit in R[X].
> Es gilt:
> [mm](a^{n-1}X+1)(-a^{n-1}X+1)[/mm] = [mm]-a^{2n-2}X^{2}[/mm] + 1 =
> = [mm]-a^{n}a^{n-2}X^{2}[/mm] + 1 = [mm]0*a^{n-2}X^{2}[/mm] + 1 = 1
genau, das stimmt so.
LG Felix
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