KQ-Schätzer unter Nebenbedingu < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 So 20.03.2011 | | Autor: | Black90 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo zusammen,
für den obigen Beweis soll der Lagrangeansatz genutzt werden, aber ich hab keine Ahnung wie ich da bei Vektorwertigen Funktionen überhaupt rangehen soll, für jede Anregung wär ich dankbar.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: ![[]](/images/popup.gif) http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=449939
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Mo 21.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
mit den Definitionen [mm] X_i=\vektor{x_{1i} \\ \vdots \\ x_{pi}}, X=\vektor{x_1^T \\ \vdots \\ x_n^T}, y=\vektor{y_1 \\ \vdots \\ y_n} [/mm] und [mm] \lambda=\vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_q}
[/mm]
kann man das Minimierungproblem wie folgt in Matrixform schreiben
[mm] F(b,\lambda)=\bruch{1}{2}\left(Y-Xb\right)^T\left(Y-Xb\right)+\lambda^T(Rb-r)
[/mm]
Ableiten nach b und [mm] \lambda [/mm] ergeben
(I) [mm] \bruch{\partial{F(b,\lambda)}}{\partial{b}}=-X^Ty+X^TXb+R^T\lambda=0
[/mm]
(II) [mm] \bruch{\partial{F(b,\lambda)}}{\partial{\lambda}}=Rb-r
[/mm]
Aus (I) folgt [mm] b+(X^TX)^{-1}R^T\lambda=(X^TX)^{-1}X^Tb
[/mm]
mit [mm] \hat\beta=(X^TX)^{-1}X^Tb [/mm] (Lösung des Minimierungsproblems ohne Nebenbedingungen) und Rb=r und Multiplikation mit R folgt
[mm] \lambda=\left[R\left(X^TX\right)^{-1}R^T\right]^{-1}\left(R\hat\beta-r\right)
[/mm]
und daraus folgt durch einsetzen
[mm] \tilde\beta=\hat\beta-\left(X^TX\right)^{-1}R^T\left[R\left(X^TX\right)^{-1}R^T\right]^{-1}\left(R\hat\beta-r\right)
[/mm]
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