KNF aus Formel angeben < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 28.12.2015 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Formen Sie die Formeln a) und b) in die konjunktive Normalform um geben Sie dabei die Umformungsschritte an.
a) $A \implies \neg (B \implies C)$
b) $\neg(A \vee B) \implies (C \implies D)$ |
Hi Leute, Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Aufgabe ist klar. Ich hab sie auch schon gelöst. Ich würde nur gerne wissen, ob meine Rechnung soweit auch richtig ist.
a)
$A \implies \neg (B \implies C)$ | Implikation
$\equiv \neg A \vee \neg(B \implies C)$ | Implikation
$\equiv \neg A \vee \neg(\neg B \vee C)$ |De Morgan
$\equiv {\underbrace{\underbrace{(A)}_{Li_1}}_{K_1} \land \underbrace{(\underbrace{\neg B}_{Li_1} \vee \underbrace{C}_{Li_2})}_{K_2}$
Da hier nun zwei Klauseln K_1 und K_2 mit einem positiven Literal A UND verknüpft mit einem negativen Literal B und positiven Literal C welche ODER verknüpft sind, ist doch die KNF erfüllt. Richtig?
b)
$\neg(A \vee B) \implies (C \implies D)$
$\equiv \neg(\neg(A \vee B)) \vee (C \implies D)$ | Implikation
$\equiv (A \vee B) \vee (\neg C \vee D)$ | Implikation
$\equiv \neg((A \vee B) \vee (\neg C \vee D))$ |De Morgan
$\equiv \underbrace{\neg(\underbrace{A}_{Li_1} \vee \underbrace{B}_{Li_2})}_{K_1} \land \underbrace{\neg(\underbrace{\neg C}_{Li_1} \vee \underbrace{D}_{Li_2})}_{K_2}$
Ist das bei b) nun so richtig, wenn eine gesamte Klausel negiert ist? Darf man das so stehen lassen? Oder muss man nochmals De Morgan anwenden? Aber dann würde man sich ja nur im Kreis drehen, denn mit nochmaliger Anwendungen von De Morgen ergäbe sich dann weiter:
$\equiv (\neg A \land \neg B) \land (\neg(\neg C) \land \neg D)$
$\equiv (\neg A \land \neg B) \land (C \land \neg D)$
An dieser Stelle müsse ich nun wieder De Morgan anwenden, was zur Folge hat, dass sich jede logische Operation immer in das Gegenteil umgekehrt; da aber überall die selbe logische Operation verwendet wird, käme ich nicht mehr auf die geforderte Form einer KNF!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 So 03.01.2016 | | Autor: | bandchef |
Hi Leute,
sorry, dass ich diesen Artikel hier nun etwas pushe, aber mir wäre eine Antwort zu meinem Thema doch sehr wichtig!
Danke, an jeden der mir hilft!
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Zu a)
Du wendest den De-Morgan falsch an (Bei b) übrigens auch). Dir fehlt noch die äußere Negation. In der vierten Zeile müsstest du also alles insgesamt negieren. Das ist dann natürlich noch nicht die konjunktive Normalform. Unter Anwendung der folgenden Äquivalenz kommst du dann durch weitere Umformungen jedoch auf die KNF.
$A [mm] \lor [/mm] (B [mm] \land [/mm] C) [mm] \gdw [/mm] (A [mm] \lor [/mm] B) [mm] \land [/mm] (A [mm] \lor [/mm] C)$
Zu b)
Richtig erkannt, dass das keine KNF ist, da keine äußeren Negationen an den konjugierten Termen stehen dürfen. Jedoch hast du in der dritten Zeile die KNF schon stehen, lass nur einmal die Klammern weg :) (Dies ist bei Konjunktion erlaubt, denn es gilt Kommutativität).
Ohne hier Werbung machen zu wollen, kann ich auch WolframAlpha (Siehe Google) empfehlen, da kannst du mit "AND", "OR", "NOT", "IMPLIES" auch Aussagen eingeben, die dir dann in sämtlichen Normalformen angezeigt werden. Leider ohne Umformungsschritte, also nur zur Kontrolle.
Entschuldige die verspätete Antwort. Falls noch etwas unklar sein sollte, einfach rückfragen.
Gruß,
Sandro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Mo 04.01.2016 | | Autor: | bandchef |
a)
$ A [mm] \implies \neg [/mm] (B [mm] \implies [/mm] C) $ | Implikation auflösen
$ [mm] \equiv \neg [/mm] A [mm] \vee \neg(B \implies [/mm] C) $ | Implikation auflösen
$ [mm] \equiv \neg [/mm] A [mm] \vee \neg(\neg [/mm] B [mm] \vee [/mm] C) $ | inneren De Morgan
$ [mm] \equiv \neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] ( B [mm] \land \neg [/mm] C)$ | negiertes A auflösen (ähnlich "Faktor einmultiplizieren")
$ [mm] \equiv (\neg [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \land (\neg [/mm] A [mm] \vee \neg [/mm] C)$
Ist a) richtig gelöst? (Wolfram Alpha meint es hier so...)
b)
$ [mm] \neg(A \vee [/mm] B) [mm] \implies [/mm] (C [mm] \implies [/mm] D) $
$ [mm] \equiv \neg(\neg(A \vee [/mm] B)) [mm] \vee [/mm] (C [mm] \implies [/mm] D) $ | Implikation
$ [mm] \equiv [/mm] (A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \vee (\neg [/mm] C [mm] \vee [/mm] D) $ | Implikation
$ [mm] \equiv [/mm] A [mm] \vee [/mm] B [mm] \vee \neg [/mm] C [mm] \vee [/mm] D $
Ist b) richtig gelöst? (Wolfram Alpha meint es zumindest...)
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Hallo bandchef,
sieht beides gut aus.
Gruß,
Sandro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Do 07.01.2016 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Hilfe!
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