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| Aufgabe | sei p Primzahl und K = [mm] \IF_p [/mm] .Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?Begründe
1.) Sei V ein K-Vektorraum der Dimesion n. Dann hat Vgenau [mm] p^n [/mm] Elemente.
2.) Sei p=2 und sei A [mm] \in M_2(K). [/mm] Dann ist A [mm] \in GL_2(K) [/mm] genau dann, wenn A keine Nullspalte enthält und die beiden Spalten von an verschieden sind.
3. Sei p=2 und seien [mm] v_1, v_2 \in K^n \backslash [/mm] {0}. Dann hat [mm] v_1, v_2 [/mm] genau dann linear abhängig wenn [mm] v_1 [/mm] = [mm] v_2 [/mm] |
Hallo zusammen,
dies hier sind mal wieder Ja/Nein Fragen die ich zu beantworten haben.
Mit denen komme ich aber irgendwie so garnicht zurecht:-( weiß was [mm] \IF_p [/mm] ist , z.b. p=2, [mm] \IF_2 [/mm] = {0-quer, 1-quer}
Da ich aber leider nur teilweise was davon habe, wenn mir jetzt jemand die lösungen sagt, hoffe ich dass sich jemand findet, der sich bereit erklärt mit mir zusammen die sachen durchzugehe!!???
Hoffe auf eure Hilfe.
Viele Liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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Hallo mathedepp_No.1,
> sei p Primzahl und K = [mm]\IF_p[/mm] .Sind die folgenden Aussagen
> wahr oder falsch?Begründe
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> 1.) Sei V ein K-Vektorraum der Dimesion n. Dann hat Vgenau
> [mm]p^n[/mm] Elemente.
>
> 2.) Sei p=2 und sei A [mm]\in M_2(K).[/mm] Dann ist A [mm]\in GL_2(K)[/mm]
> genau dann, wenn A keine Nullspalte enthält und die beiden
> Spalten von an verschieden sind.
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> 3. Sei p=2 und seien [mm]v_1, v_2 \in K^n \backslash[/mm] {0}. Dann
> hat [mm]v_1, v_2[/mm] genau dann linear abhängig wenn [mm]v_1[/mm] = [mm]v_2[/mm]
> Hallo zusammen,
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> dies hier sind mal wieder Ja/Nein Fragen die ich zu
> beantworten haben.
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> Mit denen komme ich aber irgendwie so garnicht zurecht:-(
> weiß was [mm]\IF_p[/mm] ist , z.b. p=2, [mm]\IF_2[/mm] = {0-quer, 1-quer}
> Da ich aber leider nur teilweise was davon habe, wenn mir
> jetzt jemand die lösungen sagt, hoffe ich dass sich jemand
> findet, der sich bereit erklärt mit mir zusammen die sachen
> durchzugehe!!???
Tip zu 1): Ein $n$-dimensionaler $K$-Vektorraum ist isomorph zu [mm] $K^n$.
[/mm]
Versuch's doch mal mit Teil 3); mit dessen Hilfe kannst Du dann auch Teil 2) lösen.
Mfg
zahlenspieler
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> Tip zu 1): Ein [mm]n[/mm]-dimensionaler [mm]K[/mm]-Vektorraum ist isomorph
> zu [mm]K^n[/mm].
ah prima danke, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann stimmt die Aussage, kann es zwar nicht beweisen, habe aber einfach mal für p=2 eingesetzt und dann stichproben gemacht für n=2, n=3,... und habe herausgefunden dass es immer [mm] p^n [/mm] elemente hat.
Also stimmt die Aussage.
> Versuch's doch mal mit Teil 3); mit dessen Hilfe kannst Du
> dann auch Teil 2) lösen.
ja da liegt ja leider das problem, habe das noch nciht ganz verstanden, wie habe ich mir das denn vorzustellen?
Wäre wirklich prima, wenn du mir nochmal helfen könntest!!!
Viele GRüße, der mathedepp_No.1
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Hallo mathedepp_NO.1,
> > Tip zu 1): Ein [mm]n[/mm]-dimensionaler [mm]K[/mm]-Vektorraum ist isomorph
> > zu [mm]K^n[/mm].
> ah prima danke, wenn ich das jetzt richtig verstanden
> habe, dann stimmt die Aussage, kann es zwar nicht beweisen,
> habe aber einfach mal für p=2 eingesetzt und dann
> stichproben gemacht für n=2, n=3,... und habe
> herausgefunden dass es immer [mm]p^n[/mm] elemente hat.
> Also stimmt die Aussage.
>
> > Versuch's doch mal mit Teil 3); mit dessen Hilfe kannst Du
> > dann auch Teil 2) lösen.
> ja da liegt ja leider das problem, habe das noch nciht
> ganz verstanden, wie habe ich mir das denn vorzustellen?
Daß aus [mm] $v_1=v_2$ [/mm] die lineare Unabhängigkeit von [mm] $v_1, v_2$ [/mm] folgt, dürfte klar sein  .
Wie ist denn die lineare Abhängigkeit einer Familie von Vektoren definiert? Das heißt doch: Der Nullvektor ist eine nicht-triviale Linearkombination der Vektoren, wo also mindestens ein Skalar von 0 verschieden ist. Jetzt muß man sich nur überlegen, daß dann beide Skalare [mm] $=\overline{1}$ [/mm] sein müssen.
Noch was zu Teil 1): [mm] $K^n=\{(x_1, \ldots, x_n) \mid x_i \in K\}$. [/mm] Du bekommst also alle Elemente, wenn Du die [mm] $x_i$ [/mm] mit den "Werten" [mm] $\overline{0}, \ldots, \overline{p-1}$ [/mm] belegst.
Mfg
zahlenspieler
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Hallo,
> Daß aus [mm]v_1=v_2[/mm] die lineare Unabhängigkeit von [mm]v_1, v_2[/mm]
> folgt, dürfte klar sein .
Ist leider nicht so klar müsste das nicht heißen [mm] v_1\not=v_2 [/mm] damit die Vektoren linear UNabhängig sind, denn wären sie [mm] v_1=v_2 [/mm] dann wären sie doch auf jeden Fall linear Abhängig.
> Wie ist denn die lineare Abhängigkeit einer Familie von
> Vektoren definiert? Das heißt doch: Der Nullvektor ist eine
> nicht-triviale Linearkombination der Vektoren, wo also
> mindestens ein Skalar von 0 verschieden ist. Jetzt muß man
> sich nur überlegen, daß dann beide Skalare [mm]=\overline{1}[/mm]
> sein müssen.
Versteh ich leider immer noch nicht.
heißt das [mm] K^n \backslash [/mm] {0}, dass in meinen Vektoren garkeine [mm] \overline{0} [/mm] vorkommen darf??
Es ist immer schwer für mich, das nicht bildlich vor Augen zuhaben, ums zu begreifen....:-(
> Noch was zu Teil 1): [mm]K^n=\{(x_1, \ldots, x_n) \mid x_i \in K\}[/mm].
> Du bekommst also alle Elemente, wenn Du die [mm]x_i[/mm] mit den
> "Werten" [mm]\overline{0}, \ldots, \overline{p-1}[/mm] belegst.
ja also stimmt doch [mm] p^n [/mm] Elemente...!!??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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bekomme das irgendwie noch nicht wirklich auf die Kette....LEIDER!!!
Trotz bestimmt guter Erklärungsversuche meiner fleißigen Helfer bisher....
Vielleicht kanns nochmal jemand mit mir und meinen Aufgaben aufnehmen??
Wäre wirklich prima!!!
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Di 16.01.2007 | | Autor: | SEcki |
> Ist leider nicht so klar müsste das nicht heißen
> [mm]v_1\not=v_2[/mm] damit die Vektoren linear UNabhängig sind, denn
> wären sie [mm]v_1=v_2[/mm] dann wären sie doch auf jeden Fall linear
> Abhängig.
Ja, ist nen Tippfehler, nehm ich an.
> Versteh ich leider immer noch nicht.
> heißt das [mm]K^n \backslash[/mm] {0}, dass in meinen Vektoren
> garkeine [mm]\overline{0}[/mm] vorkommen darf??
Du vermischt vektoren und Skalare ...
> Es ist immer schwer für mich, das nicht bildlich vor Augen
> zuhaben, ums zu begreifen....:-(
*shrug*, vorstellen geht da kaum.
[m]a*v_1+b*v_2=0[/m]. Jetzt bring mal einen vektor auf die andre seite. Wenn sie jetzt linear abhängig sind, kann a oder b las 1 gewählt werden. Rest kleine Fallunterscheidung.
> ja also stimmt doch [mm]p^n[/mm] Elemente...!!??
durch den Isomorphismus.
SEcki
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Hallo,
> > Ist leider nicht so klar müsste das nicht heißen
> > [mm]v_1\not=v_2[/mm] damit die Vektoren linear UNabhängig sind, denn
> > wären sie [mm]v_1=v_2[/mm] dann wären sie doch auf jeden Fall linear
> > Abhängig.
>
> Ja, ist nen Tippfehler, nehm ich an.
alles klar, danke.
> > Versteh ich leider immer noch nicht.
> > heißt das [mm]K^n \backslash[/mm] {0}, dass in meinen Vektoren
> > garkeine [mm]\overline{0}[/mm] vorkommen darf??
>
> Du vermischt vektoren und Skalare ...
also ich probiers mal meine Gedanken, zu paier zu bringen.
[mm] v_1, v_2 \in \k^n \backslash [/mm] {0} sichert mir dass [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] keine Nullvektoren sind, so wie ich das jetzt verstanden habe, mein Körper K ist in diesem spezialfall ja jetzt [mm] \IF_2, [/mm] sprich besteht aus [mm] {\overline 0 , \overline 1} [/mm] . So, angenommen ich habe 2 lineare vektoren die als einträge elemente aus [mm] \IF_2 [/mm] haben. da ich sie mit [mm] {\overline 0} [/mm] nicht multiplizieren darf laut Vorraussetzung, sie aber durch multiplikation mit [mm] {\overline 1} [/mm] nicht "gleichmachen kann", müssen diese Vektoren ja, damit sie linear abhängig sind, gleich sein, und somit stimmt die Aussage!!!
Wie siehts jetzt aus??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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hallo zusammen,
auch hier bin ich noch nicht ganz im reinen...aber ich glaube/ Hoffe auf einem guten Weg...
Hoffe auf Hilfe....
Viele liebe Grüße, der mathedepp_No.1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Fr 19.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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